Pré-algèbre Exemples

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

Étape 1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

Étape 2

Laissez $u = x^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{3}$ par $u$ .

$216 u^{2} + 19 u - 1$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ et dont la somme est $b = 19$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $19$ à partir de $19 u$ .

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

Étape 3.1.2

Réécrivez $19$ comme $- 8$ plus $27$

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $27 u - 1$ .

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Étape 5

Réécrivez $27 x^{3}$ comme ${(3 x)}^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

Étape 7

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Étape 8.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Étape 8.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Étape 8.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

Étape 9

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

Étape 10

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

Étape 11

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 12

Factorisez.

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 12.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 12.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

Étape 12.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

Étape 12.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$