Pré-algèbre Exemples

$\frac{y^{2} - 13}{y^{2} - 2 y - 3} - \frac{1}{3 - y}$

Étape 1

Factorisez $y^{2} - 2 y - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{3 - y}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - y}$

Étape 2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - (y)}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - (y)$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3 + y)}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Étape 4

Pour écrire $- \frac{1}{- 1 (y - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{- 1 (y - 3)}$ par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Étape 5.4

Réorganisez les facteurs de $- 1 (y - 3) (y + 1)$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} \cdot - 1 - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.3

Multipliez $- 13$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.4

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1 \cdot 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.7

Soustrayez $1$ de $13$ .

$\frac{- y^{2} - y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 7.8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{- y^{2} - (y) + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.8.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $3$ plus $- 4$

$\frac{- y^{2} + (3 - 4) y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- y^{2} + 3 y - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- y^{2} + 3 y) - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y (- y + 3) + 4 (- y + 3)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 7.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- y + 3$ .

$\frac{(- y + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $- y + 3$ et $y - 3$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(- (y) + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 8.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- (y) - 1 (- 3)) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 8.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $- (y - 3)$ comme $- 1 (y - 3)$ .

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 8.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Étape 8.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (y + 4)}{- (y + 1)}$

Étape 8.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y + 4}{y + 1}$