Pré-algèbre Exemples

$\frac{x - 4}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x + 3) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x - 4) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) - 4 (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 4 x + 8 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.3

Développez $(x - 1) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x (x + 3) - 1 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.4.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 x - x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 2 x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 8 + 2 x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 6 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 8 - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.7

Soustrayez $3$ de $8$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$