Pré-algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x + 1}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{x - 2}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{x + 1}{x - 4}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{x - 2}{x + 4}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Développez $(x + 1) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.2.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.2.2

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.3

Développez $(x - 2) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.4.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.6

Simplifiez

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Étape 2.7.6.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.7.6.2

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.8

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.10

Soustrayez $6 x$ de $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.11

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.12

Additionnez $4$ et $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.13

Soustrayez $32$ de $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 2 x - 20$ .

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Étape 2.14.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.14.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.14.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $4$ plus $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.14.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 2.14.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 7

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 8

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

Étape 10

Consolidez les solutions.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Étape 11

Déterminez le domaine de $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

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Étape 11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x$ .

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Étape 11.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 11.2.2

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.2.2.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 11.2.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.2.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 11.2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 11.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $4.5$ n’est pas inférieur au côté droit $- 2.3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $- 4.\overline{714285}$ est inférieur au côté droit $- 1.\overline{571428}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $- 0.75$ n’est pas inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{2} < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{2} < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 13.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

Étape 13.4.3

Le côté gauche $- 3.\overline{857142}$ est inférieur au côté droit $- 2.\overline{428571}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 13.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

Étape 13.5.3

Le côté gauche $3.9$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1.7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Faux

$\frac{5}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Faux

$\frac{5}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < - 2$ ou $\frac{5}{2} < x < 4$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

Étape 16