Pré-algèbre Exemples

Add: $\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x + 4) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.7

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$