Pré-algèbre Exemples

$\frac{3}{x^{2} + 2 x - 15} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4.2

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4.3

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{1 + 1}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x + 5) - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot 5 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{3 x + 15 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 15 - 4 x - 4 \cdot - 3}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$\frac{3 x + 15 - 4 x + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.5

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{- x + 15 + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $15$ et $12$ .

$\frac{- x + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez $27$ comme $- 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (x - 27)$ comme $- 1 (x - 27)$ .

$\frac{- 1 (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$