Pré-algèbre Exemples

$\sqrt{3 x + 7} - \sqrt{2 x - 3} = 2$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{2 x - 3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 x + 7} = 2 + \sqrt{2 x - 3}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x + 7}}^{2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 7}$ comme ${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x + 7)}^{1} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$3 x + 7 = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$ .

$3 x + 7 = (2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = 2 (2 + \sqrt{2 x - 3}) + \sqrt{2 x - 3} (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 7 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2 x - 3}$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{2 x - 3}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1} \sqrt{2 x - 3}$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{2 x - 3}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1} {\sqrt{2 x - 3}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2 x - 3}}^{2}$ comme $2 x - 3$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 3}$ comme ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Simplifiez

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 x - 3$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$3 x + 7 = 1 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 x$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $2 \sqrt{2 x - 3}$ et $2 \sqrt{2 x - 3}$ .

$3 x + 7 = 1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x$

Étape 4

Résolvez $4 \sqrt{2 x - 3}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = 3 x + 7$ .

$1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = 3 x + 7$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $4 \sqrt{2 x - 3}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = 3 x + 7 - 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sqrt{2 x - 3} = 3 x + 7 - 1 - 2 x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$4 \sqrt{2 x - 3} = x + 7 - 1$

Étape 4.2.4

Soustrayez $1$ de $7$ .

$4 \sqrt{2 x - 3} = x + 6$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(4 \sqrt{2 x - 3})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 3}$ comme ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(2 x - 3)}^{1} = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$16 (2 x - 3) = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 (2 x) + 16 \cdot - 3 = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $2$ par $16$ .

$32 x + 16 \cdot - 3 = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $16$ par $- 3$ .

$32 x - 48 = {(x + 6)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(x + 6)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(x + 6)}^{2}$ comme $(x + 6) (x + 6)$ .

$32 x - 48 = (x + 6) (x + 6)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(x + 6) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$32 x - 48 = x (x + 6) + 6 (x + 6)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$32 x - 48 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$32 x - 48 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$32 x - 48 = x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Étape 6.3.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$32 x - 48 = x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$32 x - 48 = x^{2} + 6 x + 6 x + 36$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$32 x - 48 = x^{2} + 12 x + 36$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 12 x + 36 = 32 x - 48$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $32 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 12 x + 36 - 32 x = - 48$

Étape 7.2.2

Soustrayez $32 x$ de $12 x$ .

$x^{2} - 20 x + 36 = - 48$

Étape 7.3

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 20 x + 36 + 48 = 0$

Étape 7.4

Additionnez $36$ et $48$ .

$x^{2} - 20 x + 84 = 0$

Étape 7.5

Factorisez $x^{2} - 20 x + 84$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $84$ et dont la somme est $- 20$ .

$- 14, - 6$

Étape 7.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 14) (x - 6) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x - 14$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $x - 14$ égal à $0$ .

$x - 14 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 14$

Étape 7.8

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 14) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 14, 6$