Pré-algèbre Exemples

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} - 2 (y) - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $4$ plus $- 6$

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + (4 - 6) y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y + 2}{3 y^{2} + 4 y - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{9 y + 2}{(3 y^{2} + 4 y) - 6 y - 8} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{9 y + 2}{y (3 y + 4) - 2 (3 y + 4)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y + 4$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + y - 4}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 1.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + 1 y - 4}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 3$ plus $4$

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} + (- 3 + 4) y - 4}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y^{2} - 3 y + 4 y - 4}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(3 y^{2} - 3 y) + 4 y - 4}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{3 y (y - 1) + 4 (y - 1)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y - 1$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{9 y + 2}{(3 y + 4) (y - 2)}$ par $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{7}{(y - 1) (3 y + 4)}$ par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(3 y + 4) (y - 2) (y - 1)$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(y - 1) (3 y + 4) (y - 2)$ .

$\frac{(9 y + 2) (y - 1)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(9 y + 2) (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(9 y + 2) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y (y - 1) + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 (y - 1) + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y \cdot y + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1.1

Déplacez $y$ .

$\frac{9 (y \cdot y) + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{9 y^{2} + 9 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y + 2 \cdot - 1 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{9 y^{2} - 9 y + 2 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 9 y$ et $2 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 (y - 2)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y + 7 \cdot - 2}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.4

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 7 y - 2 + 7 y - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.5

Additionnez $- 7 y$ et $7 y$ .

$\frac{9 y^{2} + 0 - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.6

Additionnez $9 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{9 y^{2} - 2 - 14}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.7

Soustrayez $14$ de $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.8

Réécrivez $9 y^{2} - 16$ en forme factorisée.

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Étape 6.8.1

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 16}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.8.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{{(3 y)}^{2} - 4^{2}}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 6.8.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 y$ et $b = 4$ .

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $3 y + 4$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 y + 4) (3 y - 4)}{(3 y + 4) (y - 1) (y - 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y - 4}{(y - 1) (y - 2)}$