Pré-algèbre Exemples

$\frac{1}{1 + x} + \frac{1 - x}{x}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1}{1 + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1 - x}{x}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1 - x}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1 + x}{1 + x}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + x) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(1 + x) x} + \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1 + x}{1 + x}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1 - x}{x}$ par $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{x}{(1 + x) x} + \frac{(1 - x) (1 + x)}{x (1 + x)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + x) x$ .

$\frac{x}{x (1 + x)} + \frac{(1 - x) (1 + x)}{x (1 + x)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + (1 - x) (1 + x)}{x (1 + x)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 - x) (1 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1 (1 + x) - x (1 + x)}{x (1 + x)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)}{x (1 + x)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + 1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 + x - x - x \cdot x}{x (1 + x)}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x + 1 + x - x - (x \cdot x)}{x (1 + x)}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x + 1 + x - x - x^{2}}{x (1 + x)}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x + 1 + 0 - x^{2}}{x (1 + x)}$

Étape 5.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 1 - x^{2}}{x (1 + x)}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + x + 1}{x (1 + x)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + x + 1}{x (1 + x)}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) + 1}{x (1 + x)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) + 1}{x (1 + x)}$

Étape 6.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (- 1)}{x (1 + x)}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x - 1)}{x (1 + x)}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (x^{2} - x - 1)$ comme $- 1 (x^{2} - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - x - 1)}{x (1 + x)}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - x - 1}{x (1 + x)}$