Pré-algèbre Exemples

$\frac{3 x - 2}{x} - 4 > 0$

Étape 1

Simplifiez $\frac{3 x - 2}{x} - 4$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x - 2}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Étape 1.2

Associez $- 4$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{- 4 x}{x} > 0$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x - 2 - 4 x}{x} > 0$

Étape 1.4

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{- x - 2}{x} > 0$

Étape 1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{x} > 0$

Étape 1.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{x} > 0$

Étape 1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{x} > 0$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.1

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{x} > 0$

Étape 1.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 2}{x} > 0$

Étape 2

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 2$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 2$

Étape 6

Déterminez le domaine de $\frac{3 x - 2}{x} - 4$ .

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 2}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 6.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 4) - 2}{- 4} - 4 > 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 0.5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 1) - 2}{- 1} - 4 > 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (2) - 2}{2} - 4 > 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $- 2$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < 0$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 < x < 0$

Notation d’intervalle :

$(- 2, 0)$

Étape 11