Pré-algèbre Exemples

$\frac{x - 4}{x^{2} - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 2} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - 2) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $x (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 4) (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x - 4) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 2) - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 4 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.3

Additionnez $- 2 x$ et $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 6.4

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 6.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{x (x + 2)}$