Pré-algèbre Exemples

$\frac{- 3}{x^{2} - 2 x - 8} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Étape 1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 4^{2}}$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x - 4) (x + 2)$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 (x + 4) + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x - 3 \cdot 4 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x - 12 + x \cdot x + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + 2 \cdot x}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$\frac{- x - 12 + x^{2}}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - x - 12}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.8

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 6.8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 4)}$