Pré-algèbre Exemples

x^{2} - 2 x - 1 = 0

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 2

$b = - 2$ et

c = - 1

$c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour

x

$x$ .

\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez

- 2

$- 2$ à la puissance

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 1

$- 1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Additionnez

4

$4$ et

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Réécrivez

8

$8$ comme

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

8

$8$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

+

$+$ du

\pm

$\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez

- 2

$- 2$ à la puissance

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 1

$- 1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez

4

$4$ et

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez

8

$8$ comme

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

8

$8$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.4

Remplacez le

\pm

$\pm$ par

+

$+$ .

x = 1 + \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}$

x = 1 + \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

-

$-$ du

\pm

$\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Élevez

- 2

$- 2$ à la puissance

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 1

$- 1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez

4

$4$ et

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez

8

$8$ comme

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

8

$8$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 5.4

Remplacez le

\pm

$\pm$ par

-

$-$ .

x = 1 - \sqrt{2}

$x = 1 - \sqrt{2}$

x = 1 - \sqrt{2}

$x = 1 - \sqrt{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Forme décimale :

x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots

$x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots$