Pré-algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 5 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + 1}{x}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{(x - 1) x}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x (x - 1)}$

Étape 6.4

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)}$