Algèbre linéaire Exemples

$y = m x + b$ , $- 1 = m x + 2$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $m x$ des deux côtés de l’équation.

$y - m x = b, - 1 = m x + 2$

Étape 1.2

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$y - m x - b = 0, - 1 = m x + 2$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y - m x - b = 0, 0 = m x + 2 + 1$

Étape 3

Soustrayez $m x$ des deux côtés de l’équation.

$y - m x - b = 0, - m x = 2 + 1$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Étape 5

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Étape 5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 5.4

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - x & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 5.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 5.5

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{x}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 5.5.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{x}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} (- x) & - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 5.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Étape 5.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - x R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 5.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - x R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - x \cdot 0 & x - x \cdot 1 & 0 - x \cdot 0 & - 1 - x \cdot 0 & 0 - x (- \frac{3}{x}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Étape 5.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$b - y = 3$

$m = - \frac{3}{x}$

Étape 7

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$b = 3 + y$

$m = - \frac{3}{x}$

Étape 8

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(3 + y, - \frac{3}{x}, x, y)$

Étape 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} b \\ m \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 + y \\ - \frac{3}{x} \\ x \\ y \end{array}]$