Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} \cos (x) & - \sin (x) \\ \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)$

Étape 2.2.1.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Étape 2.2.1.2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Étape 2.2.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.2.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Étape 2.2.2

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2.2.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Étape 5

Divisez $1$ par $1$ .

$1 [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Étape 7.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Étape 7.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$