Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 + 0 i \\ 0 + 2 i \\ 1 - 1 i \\ 4 - 3 i \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 0 i |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\sqrt{{| 4 + 0 |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\sqrt{{| 4 |}^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\sqrt{4^{2} + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {| 0 + 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $2 i$ .

$\sqrt{16 + {| 2 i |}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.6

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{16 + {\sqrt{0^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{0 + 2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{0 + 4}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $4$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{4}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.10

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{16 + {\sqrt{2^{2}}}^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{16 + 2^{2} + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + {| 1 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.13

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\sqrt{16 + 4 + {| 1 - i |}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.14

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.16

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{16 + 4 + {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.18

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.18.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 + 4 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.18.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.18.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.18.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.18.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{16 + 4 + 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.18.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{16 + 4 + 2^{1} + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.18.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {| 4 - 3 i |}^{2}}$

Étape 2.19

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.20

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{16 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.21

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{16 + 9}}^{2}}$

Étape 2.22

Additionnez $16$ et $9$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{25}}^{2}}$

Étape 2.23

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + {\sqrt{5^{2}}}^{2}}$

Étape 2.24

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{16 + 4 + 2 + 5^{2}}$

Étape 2.25

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 4 + 2 + 25}$

Étape 2.26

Additionnez $16$ et $4$ .

$\sqrt{20 + 2 + 25}$

Étape 2.27

Additionnez $20$ et $2$ .

$\sqrt{22 + 25}$

Étape 2.28

Additionnez $22$ et $25$ .

$\sqrt{47}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{47}$

Forme décimale :

$6.85565460 \dots$