Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & 6 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 3 a - 4 b \\ - 5 a + 6 b \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$

Étape 2

Write as a linear system of equations.

$3 a - 4 b = 5$

$- 5 a + 6 b = 3$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $a$ dans $3 a - 4 b = 5$ .

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Étape 3.1.1

Ajoutez $4 b$ aux deux côtés de l’équation.

$3 a = 5 + 4 b$

$- 5 a + 6 b = 3$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $3 a = 5 + 4 b$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 a = 5 + 4 b$ par $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $a$ par $\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $a$ dans $- 5 a + 6 b = 3$ par $\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ .

$- 5 (\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}) + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 5 (\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}) + 6 b$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (\frac{5}{3}) - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 5 (\frac{5}{3})$ .

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{- 25}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$\frac{- 25}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 5 \frac{4 b}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.3.1

Associez $- 5$ et $\frac{4 b}{3}$ .

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 5 (4 b)}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $6 b$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b \cdot \frac{3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $6 b$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + \frac{6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{25}{3} + \frac{- 20 b + 6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 25 - 20 b + 6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{- 25 - 20 b + 18 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.7

Additionnez $- 20 b$ et $18 b$ .

$\frac{- 25 - 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.8

Réécrivez $- 25$ comme $- 1 (25)$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 - 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 b$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 - (2 b)}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (25) - (2 b)$ .

$\frac{- 1 (25 + 2 b)}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.2.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3

Résolvez $b$ dans $- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{25 + 2 b}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{25 + 2 b}{3})$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{25 + 2 b}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- (25 + 2 b)}{3} = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) (\frac{- (25 + 2 b)}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot (- 1 \frac{- (25 + 2 b)}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (25 + 2 b) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Multipliez $25 + 2 b$ par $1$ .

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$2 b = - 9 - 25$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $25$ de $- 9$ .

$2 b = - 34$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$2 b = - 34$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $2 b = - 34$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 b = - 34$ par $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.3.1

Divisez $- 34$ par $2$ .

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $b$ par $- 17$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $b$ dans $a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ par $- 17$ .

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 (- 17)}{3}$

$b = - 17$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\frac{5}{3} + \frac{4 (- 17)}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{5 + 4 (- 17)}{3}$

$b = - 17$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez $4$ par $- 17$ .

$a = \frac{5 - 68}{3}$

$b = - 17$

Étape 3.4.2.1.2.2

Soustrayez $68$ de $5$ .

$a = \frac{- 63}{3}$

$b = - 17$

Étape 3.4.2.1.2.3

Divisez $- 63$ par $3$ .

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

Étape 3.5

Indiquez toutes les solutions.

$a = - 21, b = - 17$