Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 1 x + 0 y + 2 z \\ 2 x + 1 y + 1 z \\ 6 x + 4 y + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} x + 2 z \\ 2 x + y + z \\ 6 x + 4 y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Étape 2

Write as a linear system of equations.

$x + 2 z = 1$

$2 x + y + z = - 2$

$6 x + 4 y + z = 3$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Soustrayez $2 z$ des deux côtés de l’équation.

$x = 1 - 2 z$

$2 x + y + z = - 2$

$6 x + 4 y + z = 3$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $1 - 2 z$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $2 x + y + z = - 2$ par $1 - 2 z$ .

$2 (1 - 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (1 - 2 z) + y + z$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 - 4 z + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 - 4 z + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez $- 4 z$ et $z$ .

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $6 x + 4 y + z = 3$ par $1 - 2 z$ .

$6 (1 - 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez $6 (1 - 2 z) + 4 y + z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cdot 1 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.2.4.1.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.2.4.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.2.4.1.2

Additionnez $- 12 z$ et $z$ .

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y - 3 z = - 2 - 2$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.3.2

Ajoutez $3 z$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 2 - 2 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.3.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$y = - 4 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

$y = - 4 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 4 + 3 z$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $6 + 4 y - 11 z = 3$ par $- 4 + 3 z$ .

$6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 + 4 \cdot - 4 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.4.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$6 - 16 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.4.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Soustrayez $16$ de $6$ .

$- 10 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.4.2.1.2.2

Soustrayez $11 z$ de $12 z$ .

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 3 + 10$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.5.2

Additionnez $3$ et $10$ .

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $13$ dans chaque équation.

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Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $y = - 4 + 3 z$ par $13$ .

$y = - 4 + 3 (13)$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez $- 4 + 3 (13)$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Multipliez $3$ par $13$ .

$y = - 4 + 39$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.6.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $39$ .

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $x = 1 - 2 z$ par $13$ .

$x = 1 - 2 \cdot 13$

$y = 35$

$z = 13$

Étape 3.6.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.4.1

Simplifiez $1 - 2 \cdot 13$ .

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Étape 3.6.4.1.1

Multipliez $- 2$ par $13$ .

$x = 1 - 26$

$y = 35$

$z = 13$

Étape 3.6.4.1.2

Soustrayez $26$ de $1$ .

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = - 25, y = 35, z = 13$