Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Étape 2

Write as a linear system of equations.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $8 + y$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $2 x + 2 y - 5 z = 15$ par $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 3.2.2.1.2

Soustrayez $5 y$ de $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $- x - y + 3 z = 23$ par $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Simplifiez $- x - y + 3 (8 + y)$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 3.2.4.1.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 3.2.4.1.2

Additionnez $- y$ et $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $8$ et $y$ .

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 3.4

Résolvez $y$ dans $z = y + 8$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $y + 8 = z$ .

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 3.4.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 3.5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $z - 8$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $- x + 2 y + 24 = 23$ par $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 3.5.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 3.5.2.1.2

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $2 x - 3 y - 40 = 15$ par $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.5.4.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.5.4.1.2

Soustrayez $40$ de $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.6

Résolvez $x$ dans $2 x - 3 z - 16 = 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Ajoutez $3 z$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.6.1.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $15$ et $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3 z + 31$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3 z + 31$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 3.7

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $- x + 2 z + 8 = 23$ par $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Simplifiez $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.2

Pour écrire $2 z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.3

Associez $2 z$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.7

Additionnez $- 3 z$ et $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.8

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.9

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.9.1

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.10.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.7.2.1.10.2

Soustrayez $31$ de $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.8

Résolvez $z$ dans $\frac{z - 15}{2} = 23$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.2.1

Multipliez $2$ par $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.8.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.3.1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.8.3.2

Additionnez $46$ et $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 3.9

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $61$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ par $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 3.9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1

Simplifiez $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 3.9.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 3.9.2.1.2.2

Additionnez $183$ et $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 3.9.2.1.2.3

Divisez $214$ par $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $y = z - 8$ par $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Étape 3.9.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.4.1

Soustrayez $8$ de $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Étape 3.10

Indiquez toutes les solutions.

$y = 53, x = 107, z = 61$