Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c} \\ - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b d} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 & k \\ 0 & - 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Factorisez $d$ à partir de $a d - b d$ .

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Étape 1.1

Factorisez $d$ à partir de $a d$ .

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c} \\ - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{d a - b d} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 & k \\ 0 & - 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.2

Factorisez $d$ à partir de $- b d$ .

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c} \\ - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{d a + d (- b)} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 & k \\ 0 & - 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Factorisez $d$ à partir de $d a + d (- b)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c} \\ - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{d (a - b)} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 & k \\ 0 & - 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez $[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c} \\ - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{d (a - b)} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 & k \\ 0 & - 6 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Étape 2.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - b c} \cdot - 6 - \frac{b}{a d - b c} \cdot 0 & \frac{d}{a d - b c} k - \frac{b}{a d - b c} \cdot - 6 \\ - \frac{c}{a d - b c} \cdot - 6 + \frac{a}{d (a - b)} \cdot 0 & - \frac{c}{a d - b c} k + \frac{a}{d (a - b)} \cdot - 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - \frac{6 d}{a d - b c} & \frac{d k + 6 b}{a d - b c} \\ \frac{6 c}{a d - b c} & - \frac{k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c}{d (a - b) (a d - b c)} \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Multipliez $[\begin{array}{c} - \frac{6 d}{a d - b c} & \frac{d k + 6 b}{a d - b c} \\ \frac{6 c}{a d - b c} & - \frac{k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c}{d (a - b) (a d - b c)} \end{array}] [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Étape 3.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{6 d}{a d - b c} a + \frac{d k + 6 b}{a d - b c} c & - \frac{6 d}{a d - b c} b + \frac{d k + 6 b}{a d - b c} d \\ \frac{6 c}{a d - b c} a - \frac{k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c}{d (a - b) (a d - b c)} c & \frac{6 c}{a d - b c} b - \frac{k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c}{d (a - b) (a d - b c)} d \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a + 6 c b (- b) - (k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $b$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a + 6 c (b \cdot b) \cdot - 1 - (k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a + 6 c b^{2} \cdot - 1 - (k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a - 6 c b^{2} - (k c d a - k c d b + 6 a^{2} d - 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a - 6 c b^{2} - (k c d a) - (- k c d b) - (6 a^{2} d) - (- 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $- (- k c d b)$ .

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Étape 3.3.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a - 6 c b^{2} - k c d a + 1 (k c d b) - (6 a^{2} d) - (- 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.5.1.2

Multipliez $k$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a - 6 c b^{2} - k c d a + k (c d b) - (6 a^{2} d) - (- 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a - 6 c b^{2} - k c d a + k (c d b) - 6 (a^{2} d) - (- 6 a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.5.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a - 6 c b^{2} - k c d a + k (c d b) - 6 (a^{2} d) + 6 (a b c)}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Supprimez les parenthèses.

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 c b a - 6 c b^{2} - k c d a + k c d b - 6 a^{2} d + 6 a b c}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.7

Additionnez $6 c b a$ et $6 a b c$ .

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $b$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{6 a b c + 6 a b c - 6 c b^{2} - k c d a + k c d b - 6 a^{2} d}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3.7.2

Additionnez $6 a b c$ et $6 a b c$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} & \frac{d^{2} k}{a d - b c} \\ - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} & \frac{12 a b c - 6 c b^{2} - k c d a + k c d b - 6 a^{2} d}{(a - b) (a d - b c)} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Write as a linear system of equations.

$- \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} = 1$

$\frac{d^{2} k}{a d - b c} = 0$

$- \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} = 0$

$\frac{12 a b c - 6 c b^{2} - k c d a + k c d b - 6 a^{2} d}{(a - b) (a d - b c)} = 1$

Étape 5

Réduisez le système.

$- \frac{6 a d - c d k - 6 c b}{a d - b c} = 1, \frac{d^{2} k}{a d - b c} = 0, - \frac{c (6 a d b + k c d a - k c d b - 6 a b c)}{d (a - b) (a d - b c)} = 0, \frac{12 a b c - 6 c b^{2} - k c d a + k c d b - 6 a^{2} d}{(a - b) (a d - b c)} = 1$