Algèbre linéaire Exemples

${(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

${(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{9} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.10

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.12.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.14

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} + \frac{6^{1}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3} + \frac{6}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.15

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} + \frac{6}{9} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.16

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 1.16.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 (2)}{9} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 1.17

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2 + 1}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 + 1}{3}$

Étape 2.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{3}$