Algèbre linéaire Exemples

$8 y^{2} = 8 - x^{2}$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y^{2} + x^{2} = 8$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre $8 y^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} + 8 y^{2} = 8$

Étape 1.2

Divisez chaque terme par $8$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{8 y^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{8 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{8 - 1}$

Étape 5.3.3.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\sqrt{7}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(\sqrt{7}, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- \sqrt{7}, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 1}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.7

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 8.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 8.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.4.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Étape 10