Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 8 & - 9 & - 6 \\ 0 & 0 & - 8 & - 4 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Étape 1.1.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 8 & - 9 & - 6 \\ - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 & - \frac{1}{8} \cdot - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 8 & - 9 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{8} R_{3}$ to make the entry at $2, 5$ a $0$ .

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Étape 1.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{8} R_{3}$ to make the entry at $2, 5$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 8 & - 9 & - 6 \\ 0 - \frac{3}{8} \cdot 0 & 0 - \frac{3}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{8} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{3}{8} \cdot 0 & \frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 8 & - 9 & - 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 5$ a $0$ .

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Étape 1.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 5$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 5 + 6 \cdot 0 & - 8 + 6 \cdot 0 & - 9 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 8 & - 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 8 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 1.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 8 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 8 \cdot 0 & - 5 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 & - 9 + 8 (\frac{1}{2}) & 0 + 8 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading $1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions: $a_{11}, a_{23},$ and $a_{35}$

Pivot Columns: $1, 3,$ and $5$