Algèbre linéaire Exemples

Résoudre en utilisant l'inverse d'une matrice 9/2x+1/3y-z=-145 , 3x-7/3y+1/2z=49/3 , x+2y-z=-15
, ,
Étape 1
Déterminez le à partir du système d’équations.
Étape 2
Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Find the determinant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 2.1.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 2.1.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 2.1.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 2.1.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 2.1.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 2.1.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 2.1.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 2.1.1.9
Add the terms together.
Étape 2.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.2.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.1.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.1.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2.1.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.2.2.3
Associez et .
Étape 2.1.2.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.2.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.5.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.3.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.3.2.1
Multipliez par .
Étape 2.1.3.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.3.2.3
Associez et .
Étape 2.1.3.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.3.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.3.2.5.1
Multipliez par .
Étape 2.1.3.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.3.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.1.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.4.2.1.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.1.4.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 2.1.4.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.4.2.3
Associez et .
Étape 2.1.4.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.4.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.2.5.1
Multipliez par .
Étape 2.1.4.2.5.2
Additionnez et .
Étape 2.1.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.1.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.5.1.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.5.1.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.5.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.5.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.5.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.5.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.5.1.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.1.4.1
Multipliez par .
Étape 2.1.5.1.4.2
Multipliez par .
Étape 2.1.5.1.4.3
Multipliez par .
Étape 2.1.5.1.4.4
Multipliez par .
Étape 2.1.5.1.5
Réécrivez comme .
Étape 2.1.5.2
Déterminez le dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.2.1
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 2.1.5.2.2
Multipliez par .
Étape 2.1.5.2.3
Multipliez par .
Étape 2.1.5.2.4
Multipliez par .
Étape 2.1.5.2.5
Multipliez par .
Étape 2.1.5.2.6
Réorganisez les facteurs de .
Étape 2.1.5.2.7
Multipliez par .
Étape 2.1.5.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.5.4
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.4.1
Multipliez par .
Étape 2.1.5.4.2
Multipliez par .
Étape 2.1.5.5
Additionnez et .
Étape 2.1.5.6
Soustrayez de .
Étape 2.1.5.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2
Since the determinant is non-zero, the inverse exists.
Étape 2.3
Set up a matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.
Étape 2.4
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 2.4.1.2
Simplifiez .
Étape 2.4.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 2.4.2.2
Simplifiez .
Étape 2.4.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 2.4.3.2
Simplifiez .
Étape 2.4.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 2.4.4.2
Simplifiez .
Étape 2.4.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 2.4.5.2
Simplifiez .
Étape 2.4.6
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.6.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 2.4.6.2
Simplifiez .
Étape 2.4.7
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.7.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 2.4.7.2
Simplifiez .
Étape 2.4.8
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.8.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 2.4.8.2
Simplifiez .
Étape 2.4.9
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.9.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 2.4.9.2
Simplifiez .
Étape 2.5
The right half of the reduced row echelon form is the inverse.
Étape 3
Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.
Étape 4
Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à . .
Étape 5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is and the second matrix is .
Étape 5.2
Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.
Étape 5.3
Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Multipliez par .
Étape 5.3.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3
Additionnez et .
Étape 6
Simplifiez les côtés gauche et droit.
Étape 7
Déterminez la solution.