Algèbre linéaire Exemples

$\frac{\sqrt{- 2} \sqrt{- 8} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 9}}$

Étape 1

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{\sqrt{- 1 (2)} \sqrt{- 8} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 9}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2} \sqrt{- 8} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 9}}$

Étape 1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} \sqrt{- 8} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 9}}$

Étape 1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} \sqrt{- 1 (8)} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 9}}$

Étape 1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}) + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 9}}$

Étape 1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} (i \cdot \sqrt{8}) + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 9}}$

Étape 1.7

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} (i \cdot \sqrt{8}) + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - \sqrt{- 1 (9)}}$

Étape 1.8

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} (i \cdot \sqrt{8}) + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9})}$

Étape 1.9

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} (i \cdot \sqrt{8}) + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - (i \cdot \sqrt{9})}$

Étape 2

Multipliez $\frac{i \cdot \sqrt{2} i \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - i \cdot \sqrt{9}}$ par $\frac{\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9}}$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{2} i \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - i \cdot \sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{i \cdot \sqrt{2} i \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}}{\sqrt{25} - i \cdot \sqrt{9}}$ par $\frac{\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9}}$ .

$\frac{(i \cdot \sqrt{2} i \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{(\sqrt{25} - i \cdot \sqrt{9}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(i \cdot \sqrt{2} i \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{{\sqrt{25}}^{2} + \sqrt{225} i - i \sqrt{225} - i^{2} {\sqrt{9}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(i \cdot \sqrt{2} i \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $i \sqrt{2} i$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(i^{1} i \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.1.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(i^{1} i^{1} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(i^{1 + 1} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(i^{2} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(- 1 \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.3

Réécrivez $- 1 \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$\frac{(- \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{(- \sqrt{2} \cdot \sqrt{4 (2)} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{(- \sqrt{2} \cdot (2 \sqrt{2}) + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.6

Multipliez $- \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(- 2 \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(- 2 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 2 \cdot 2^{1} + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{(- 2 \cdot 2 + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{(- 4 + \sqrt[3]{- 125}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.9

Réécrivez $- 125$ comme ${(- 5)}^{3}$ .

$\frac{(- 4 + \sqrt[3]{{(- 5)}^{3}}) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 4.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{(- 4 - 5) (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 5

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$\frac{- 9 (\sqrt{25} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{- 9 (\sqrt{5^{2}} + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 9 (5 + i \cdot \sqrt{9})}{34}$

Étape 6.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{- 9 (5 + i \cdot \sqrt{3^{2}})}{34}$

Étape 6.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 9 (5 + i \cdot 3)}{34}$

Étape 6.5

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$\frac{- 9 (5 + 3 i)}{34}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 9 \cdot 5 - 9 (3 i)}{34}$

Étape 7.2

Multipliez.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 9$ par $5$ .

$\frac{- 45 - 9 (3 i)}{34}$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$\frac{- 45 - 27 i}{34}$

Étape 7.3

Réécrivez $- 45$ comme $- 1 (45)$ .

$\frac{- 1 (45) - 27 i}{34}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 27 i$ .

$\frac{- 1 (45) - (27 i)}{34}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (45) - (27 i)$ .

$\frac{- 1 (45 + 27 i)}{34}$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45 + 27 i}{34}$