Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 & 3 & 4 1 & 4 & - 3 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & - 3 \\ 2 & - 4 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)

$a_{11} = 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

a_{11} = 4 - (- 4 \cdot - 3)

$a_{11} = 4 - (- 4 \cdot - 3)$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- (- 4 \cdot - 3)

$- (- 4 \cdot - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 3

$- 3$ .

a_{11} = 4 - 1 \cdot 12

$a_{11} = 4 - 1 \cdot 12$

Étape 2.1.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

12

$12$ .

a_{11} = 4 - 12

$a_{11} = 4 - 12$

a_{11} = 4 - 12

$a_{11} = 4 - 12$

a_{11} = 4 - 12

$a_{11} = 4 - 12$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

4

$4$ .

a_{11} = - 8

$a_{11} = - 8$

a_{11} = - 8

$a_{11} = - 8$

a_{11} = - 8

$a_{11} = - 8$

a_{11} = - 8

$a_{11} = - 8$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 3 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot - 3

$a_{12} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot - 3$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

1

$1$ par

1

$1$ .

a_{12} = 1 - 2 \cdot - 3

$a_{12} = 1 - 2 \cdot - 3$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 3

$- 3$ .

a_{12} = 1 + 6

$a_{12} = 1 + 6$

a_{12} = 1 + 6

$a_{12} = 1 + 6$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez

1

$1$ et

6

$6$ .

a_{12} = 7

$a_{12} = 7$

a_{12} = 7

$a_{12} = 7$

a_{12} = 7

$a_{12} = 7$

a_{12} = 7

$a_{12} = 7$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 4$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$a_{13} = - 4 - 2 \cdot 4$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$4$ .

$a_{13} = - 4 - 8$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

$8$ de

$- 4$ .

$a_{13} = - 12$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 3 \cdot 1 - (- 4 \cdot 4)$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$1$ .

$a_{21} = 3 - (- 4 \cdot 4)$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 4 \cdot 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$4$ .

$a_{21} = 3 - - 16$

Étape 2.4.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 16$ .

$a_{21} = 3 + 16$

Étape 2.4.2.2.2

Additionnez

$3$ et

$16$ .

$a_{21} = 19$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = - 4 \cdot 1 - 2 \cdot 4$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$a_{22} = - 4 - 2 \cdot 4$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$4$ .

$a_{22} = - 4 - 8$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

$8$ de

$- 4$ .

$a_{22} = - 12$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = - 4 \cdot - 4 - 2 \cdot 3$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 4$ .

$a_{23} = 16 - 2 \cdot 3$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$3$ .

$a_{23} = 16 - 6$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez

$6$ de

$16$ .

$a_{23} = 10$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 4$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$- 3$ .

$a_{31} = - 9 - 4 \cdot 4$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$4$ .

$a_{31} = - 9 - 16$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez

$16$ de

$- 9$ .

$a_{31} = - 25$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = - 4 \cdot - 3 - 1 \cdot 4$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 3$ .

$a_{32} = 12 - 1 \cdot 4$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

$4$ de

$12$ .

$a_{32} = 8$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = - 4 \cdot 4 - 1 \cdot 3$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$4$ .

$a_{33} = - 16 - 1 \cdot 3$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$a_{33} = - 16 - 3$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez

$3$ de

$- 16$ .

$a_{33} = - 19$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 8 & - 7 & - 12 \\ - 19 & - 12 & - 10 \\ - 25 & - 8 & - 19 \end{array}]$