Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 3 & 3 4 & 6 & 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 4 & 6 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 6 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 3 \cdot 5 - 6 \cdot 3

$a_{11} = 3 \cdot 5 - 6 \cdot 3$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

5

$5$ .

a_{11} = 15 - 6 \cdot 3

$a_{11} = 15 - 6 \cdot 3$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

3

$3$ .

a_{11} = 15 - 18

$a_{11} = 15 - 18$

a_{11} = 15 - 18

$a_{11} = 15 - 18$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez

18

$18$ de

15

$15$ .

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 4 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 2 \cdot 5 - 4 \cdot 3

$a_{12} = 2 \cdot 5 - 4 \cdot 3$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

5

$5$ .

a_{12} = 10 - 4 \cdot 3

$a_{12} = 10 - 4 \cdot 3$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

3

$3$ .

a_{12} = 10 - 12

$a_{12} = 10 - 12$

a_{12} = 10 - 12

$a_{12} = 10 - 12$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

10

$10$ .

a_{12} = - 2

$a_{12} = - 2$

a_{12} = - 2

$a_{12} = - 2$

a_{12} = - 2

$a_{12} = - 2$

a_{12} = - 2

$a_{12} = - 2$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 4 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3

$a_{13} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

6

$6$ .

a_{13} = 12 - 4 \cdot 3

$a_{13} = 12 - 4 \cdot 3$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

3

$3$ .

a_{13} = 12 - 12

$a_{13} = 12 - 12$

a_{13} = 12 - 12

$a_{13} = 12 - 12$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

12

$12$ .

a_{13} = 0

$a_{13} = 0$

a_{13} = 0

$a_{13} = 0$

a_{13} = 0

$a_{13} = 0$

a_{13} = 0

$a_{13} = 0$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

a_{21}

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 6 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 2 \cdot 5 - 6 \cdot 3

$a_{21} = 2 \cdot 5 - 6 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

5

$5$ .

a_{21} = 10 - 6 \cdot 3

$a_{21} = 10 - 6 \cdot 3$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

3

$3$ .

a_{21} = 10 - 18

$a_{21} = 10 - 18$

a_{21} = 10 - 18

$a_{21} = 10 - 18$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

18

$18$ de

10

$10$ .

a_{21} = - 8

$a_{21} = - 8$

a_{21} = - 8

$a_{21} = - 8$

a_{21} = - 8

$a_{21} = - 8$

a_{21} = - 8

$a_{21} = - 8$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

a_{22}

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 4 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 3

$a_{22} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

1

$1$ .

a_{22} = 5 - 4 \cdot 3

$a_{22} = 5 - 4 \cdot 3$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

3

$3$ .

a_{22} = 5 - 12

$a_{22} = 5 - 12$

a_{22} = 5 - 12

$a_{22} = 5 - 12$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

12

$12$ de

5

$5$ .

a_{22} = - 7

$a_{22} = - 7$

a_{22} = - 7

$a_{22} = - 7$

a_{22} = - 7

$a_{22} = - 7$

a_{22} = - 7

$a_{22} = - 7$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

a_{23}

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 2

$a_{23} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

a_{23} = 6 - 4 \cdot 2

$a_{23} = 6 - 4 \cdot 2$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

a_{23} = 6 - 8

$a_{23} = 6 - 8$

a_{23} = 6 - 8

$a_{23} = 6 - 8$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez

8

$8$ de

6

$6$ .

a_{23} = - 2

$a_{23} = - 2$

a_{23} = - 2

$a_{23} = - 2$

a_{23} = - 2

$a_{23} = - 2$

a_{23} = - 2

$a_{23} = - 2$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

a_{31}

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 3 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 3

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

a_{31} = 6 - 3 \cdot 3

$a_{31} = 6 - 3 \cdot 3$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

- 3

$- 3$ par

3

$3$ .

a_{31} = 6 - 9

$a_{31} = 6 - 9$

a_{31} = 6 - 9

$a_{31} = 6 - 9$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez

9

$9$ de

6

$6$ .

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

a_{31} = - 3

$a_{31} = - 3$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

a_{32}

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 3

$a_{32} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

a_{32} = 3 - 2 \cdot 3

$a_{32} = 3 - 2 \cdot 3$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

3

$3$ .

a_{32} = 3 - 6

$a_{32} = 3 - 6$

a_{32} = 3 - 6

$a_{32} = 3 - 6$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

6

$6$ de

3

$3$ .

a_{32} = - 3

$a_{32} = - 3$

a_{32} = - 3

$a_{32} = - 3$

a_{32} = - 3

$a_{32} = - 3$

a_{32} = - 3

$a_{32} = - 3$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

a_{33}

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2

$a_{33} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

a_{33} = 3 - 2 \cdot 2

$a_{33} = 3 - 2 \cdot 2$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

2

$2$ .

a_{33} = 3 - 4

$a_{33} = 3 - 4$

a_{33} = 3 - 4

$a_{33} = 3 - 4$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez

4

$4$ de

3

$3$ .

a_{33} = - 1

$a_{33} = - 1$

a_{33} = - 1

$a_{33} = - 1$

a_{33} = - 1

$a_{33} = - 1$

a_{33} = - 1

$a_{33} = - 1$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

-

$-$ positions on the sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 2 & 0 8 & - 7 & 2 - 3 & 3 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ 8 & - 7 & 2 \\ - 3 & 3 & - 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 2 & 0 8 & - 7 & 2 - 3 & 3 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ 8 & - 7 & 2 \\ - 3 & 3 & - 1 \end{array}]$