Algèbre linéaire Exemples

12 x - 3 y = - 6

$12 x - 3 y = - 6$ ,

2 x + 15 y = 30

$2 x + 15 y = 30$

Étape 1

Déterminez le

A X = B

$A X = B$ à partir du système d’équations.

[\begin{matrix} 12 & - 3 2 & 15 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 6 30 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Étape 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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Étape 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Étape 2.2

Find the determinant.

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Étape 2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3

$12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez

12

$12$ par

15

$15$ .

180 - 2 \cdot - 3

$180 - 2 \cdot - 3$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 3

$- 3$ .

180 + 6

$180 + 6$

180 + 6

$180 + 6$

Étape 2.2.2.2

Additionnez

180

$180$ et

6

$6$ .

186

$186$

186

$186$

186

$186$

Étape 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{186} [\begin{matrix} 15 & 3 - 2 & 12 \end{matrix}]

$\frac{1}{186} [\begin{array}{c} 15 & 3 \\ - 2 & 12 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez

\frac{1}{186}

$\frac{1}{186}$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

186

$186$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.1.2

Factorisez

3

$3$ à partir de

15

$15$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{62} \cdot 5 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Associez

$\frac{1}{62}$ et

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez

$3$ à partir de

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 (62)} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 (93)} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.4.2

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{93} \cdot - 1 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.5

Associez

$\frac{1}{93}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{- 1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.7

Annulez le facteur commun de

$6$ .

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Étape 2.6.7.1

Factorisez

$6$ à partir de

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 (31)} \cdot 12 \end{array}]$

Étape 2.6.7.2

Factorisez

$6$ à partir de

$12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Étape 2.6.7.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Étape 2.6.7.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{31} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 2.6.8

Associez

$\frac{1}{31}$ et

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}]$

Étape 3

Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.

$([\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Étape 4

Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$ .

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Étape 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Étape 5.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} \cdot - 6 + \frac{1}{62} \cdot 30 \\ - \frac{1}{93} \cdot - 6 + \frac{2}{31} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 5.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez les côtés gauche et droit.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Étape 7

Déterminez la solution.

$x = 0$

$y = 2$