Algèbre linéaire Exemples

$\frac{1}{3} y - \frac{2}{3} x = 1$ , $10 x - 5 y = - 15$

Step 1

Déterminez le $A X = B$ à partir du système d’équations.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 15 \end{array}]$

Step 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $| A |$ est le déterminant de $A$ .

Si $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ alors $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Déterminez le déterminant de $[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}]$ .

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Ce sont les deux notations valides pour le déterminant d’une matrice.

$déterminant [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}] = | \begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- \frac{2}{3}) (- 5) - 10 (\frac{1}{3})$

Simplifiez le déterminant.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $(- \frac{2}{3}) (- 5)$ .

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Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$5 (\frac{2}{3}) - 10 (\frac{1}{3})$

Associez $5$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - 10 (\frac{1}{3})$

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{3} - 10 (\frac{1}{3})$

Associez $- 10$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 10}{3}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{10}{3} - \frac{10}{3}$

Associez les fractions.

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Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 - 10}{3}$

Simplifiez l’expression.

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Soustrayez $10$ de $10$ .

$\frac{0}{3}$

Divisez $0$ par $3$ .

$0$

Remplacez les valeurs connues dans la formule pour l’inverse d’une matrice.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - (\frac{1}{3}) \\ - (10) & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Réorganisez $- (\frac{1}{3})$ .

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - \frac{1}{3} \\ - (10) & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Réorganisez $- (10)$ .

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - \frac{1}{3} \\ - 10 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Multipliez $\frac{1}{0}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{0} \cdot - 5 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \\ \frac{1}{0} \cdot - 10 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Réorganisez $\frac{1}{0} \cdot - 5$ .

$[\begin{array}{c} Undefined & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \\ \frac{1}{0} \cdot - 10 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Comme la matrice est indéfinie, elle ne peut pas être résolue.

$Undefined$

Indéfini