Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0 - λ & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $10$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.8

Additionnez $7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.9

Additionnez $- 14$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.11

Additionnez $- 12$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.12

Additionnez $24$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 & 24 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.13

Additionnez $6$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $4$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ | \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ ((4 - λ) (2 - λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.2.2.1.1

Développez $(4 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (4 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.2.2

Soustrayez $2 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 6 λ + λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.3

Multipliez $- (- 14 \cdot 5)$ .

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Étape 1.5.5.2.2.1.3.1

Multipliez $- 14$ par $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 6 λ + λ^{2} - - 70) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 70$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 6 λ + λ^{2} + 70) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.2

Additionnez $8$ et $70$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (- 6 λ + λ^{2} + 78) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2.2.3

Remettez dans l’ordre $- 6 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- (2 - λ) - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 1 \cdot 2 - - λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 - - λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.3

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 1.5.5.3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 + 1 λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.3.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 + λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.4

Multipliez $- 7$ par $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 + λ - 35) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.2

Soustrayez $35$ de $- 2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |$ .

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Étape 1.5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (- - 14 - 7 (4 - λ)))$

Étape 1.5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 14$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 7 (4 - λ)))$

Étape 1.5.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 7 \cdot 4 - 7 (- λ)))$

Étape 1.5.5.4.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 28 - 7 (- λ)))$

Étape 1.5.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 28 + 7 λ))$

Étape 1.5.5.4.2.2

Soustrayez $28$ de $14$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (- 14 + 7 λ))$

Étape 1.5.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 14$ et $7 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.2

Simplifiez

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Étape 1.5.5.5.1.2.1

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.1.2.1.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.2.1.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.1.2.1.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.2.3

Multipliez $78$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.5.1.3.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.5.1.3.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.3.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ - 4 \cdot - 37 + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 37$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 10 (7 λ - 14))$

Étape 1.5.5.5.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 10 (7 λ) + 10 \cdot - 14)$

Étape 1.5.5.5.1.7

Multipliez $7$ par $10$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 70 λ + 10 \cdot - 14)$

Étape 1.5.5.5.1.8

Multipliez $10$ par $- 14$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 70 λ - 140)$

Étape 1.5.5.5.2

Soustrayez $4 λ$ de $- 78 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 82 λ + 148 + 70 λ - 140)$

Étape 1.5.5.5.3

Additionnez $- 82 λ$ et $70 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 148 - 140)$

Étape 1.5.5.5.4

Soustrayez $140$ de $148$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

Étape 1.5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.6.1

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ .

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Étape 1.5.6.1.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

Étape 1.5.6.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

Étape 1.5.6.1.3

Additionnez $0$ et $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

Étape 1.5.6.2

Développez $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 12 λ) + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 12 λ) + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} + 2 (- 12 λ) + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.6.3.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.6.3.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.11

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

Étape 1.5.6.3.15

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Étape 1.5.6.4

Soustrayez $6 λ^{3}$ de $- 2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Étape 1.5.6.5

Additionnez $12 λ^{2}$ et $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 8 λ$

Étape 1.5.6.6

Soustrayez $8 λ$ de $- 24 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16 + λ^{4}$

Étape 1.5.6.7

Déplacez $16$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + λ^{4} + 16$

Étape 1.5.6.8

Déplacez $- 32 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} + λ^{4} - 32 λ + 16$

Étape 1.5.6.9

Déplacez $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + λ^{4} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16$

Étape 1.5.6.10

Remettez dans l’ordre $- 8 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$λ^{4} - 4 \cdot (2 λ^{3}) + 6 \cdot (2^{2} λ^{2}) - 4 \cdot (2^{3} λ) + 2^{4} = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez $λ^{4} - 4 \cdot 2 λ^{3} + 6 \cdot 2^{2} λ^{2} - 4 \cdot 2^{3} λ + 2^{4}$ en utilisant le théorème du binôme.

${(2 - λ)}^{4} = 0$

Étape 1.7.2

Définissez le $2 - λ$ égal à $0$ .

$2 - λ = 0$

Étape 1.7.3

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 2$

Étape 1.7.3.2

Divisez chaque terme dans $- λ = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.7.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- λ = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.7.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.7.3.2.2.2

Divisez $λ$ par $1$ .

$λ = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.7.3.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$λ = 2$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 2$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.10

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.12

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.13

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.14

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.15

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.16

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 - 2 & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $10$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Soustrayez $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $5$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Additionnez $7$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.10

Additionnez $- 14$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.11

Soustrayez $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.13

Additionnez $- 12$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.14

Additionnez $24$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.15

Additionnez $6$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 - 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.16

Soustrayez $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot 10 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & 5 - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 14 - 7 \cdot - 2 & 0 - 7 \cdot - 5 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 12 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 12 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ - 12 + 12 \cdot 1 & 24 + 12 \cdot - 2 & 6 + 12 \cdot - 5 & 0 + 12 \cdot 0 & 0 + 12 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{35}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{35}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{0}{35} & \frac{0}{35} & \frac{35}{35} & \frac{0}{35} & \frac{0}{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 54 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 54 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 54 \cdot 0 & 0 + 54 \cdot 0 & - 54 + 54 \cdot 1 & 0 + 54 \cdot 0 & 0 + 54 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.7.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & - 2 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - 2 x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x_{2} \\ x_{2} \\ 0 \\ x_{4} \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$