Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$4$ est la matrice carrée

$4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{4}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.9.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.10.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.11

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.12.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.13.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.14.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.15.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.16

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.7

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.8

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.9

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 + 0 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.10

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.11

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - λ & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.12

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - λ & - 1 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.13

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - λ & - 1 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.14

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - λ & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.15

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - λ & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.16

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - λ & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - λ & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - λ & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

The minor for

$a_{14}$ is the determinant with row

$1$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.10

Multiply element

$a_{14}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - λ & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 1 & - λ & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.3.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.3.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.3.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.3.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.3.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - λ (- λ | \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} - 1 & - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ (- λ | \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ - 1 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ (- λ (- λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ (- λ (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3.2.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.2.2.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - λ (- λ (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3.2.2.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - λ (- λ (- 1 \cdot - 1 λ^{2} - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3.2.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ (1 λ^{2} - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3.2.4

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3.2.5

Multipliez

$- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.2.5.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.3.2.5.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1) + 1 (- - λ + 0 \cdot - 1) + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.4.2.1.1

Multipliez

$- - λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.4.2.1.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1) + 1 (1 λ + 0 \cdot - 1) + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.4.2.1.1.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1) + 1 (λ + 0 \cdot - 1) + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.4.2.1.2

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1) + 1 (λ + 0) + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.4.2.2

Additionnez

$λ$ et

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1) + 1 λ + 0) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.3.5.1

Additionnez

$- λ (λ^{2} - 1) + 1 λ$ et

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ (λ^{2} - 1) + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ (- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2.2

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.5.2.2.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ (- (λ^{2} λ) - λ \cdot - 1 + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2.2.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.5.2.2.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - λ (- (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 1 + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ (- λ^{2 + 1} - λ \cdot - 1 + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2.2.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} - λ \cdot - 1 + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2.3

Multipliez

$- λ \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.5.2.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 1 λ + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2.3.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + λ + 1 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.2.4

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + λ + λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3.5.3

Additionnez

$λ$ et

$λ$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - λ & - 1 \\ - 1 & - 1 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$2$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.4.1.3

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.4.1.4

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.4.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.4.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.4.1.7

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.1.8

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (1 (- λ) - - 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.3.2.1.1

Multipliez

$- λ$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ - - 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.3.2.1.2

Multipliez

$- - 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ - 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ + 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.3.2.2

Additionnez

$- λ$ et

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ) + 1 (1 \cdot - 1 - - - 1)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.4.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ) + 1 (- 1 - - - 1)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.4.2.1.2

Multipliez

$- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ) + 1 (- 1 - 1 \cdot 1)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ) + 1 (- 1 - 1)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.4.2.2

Soustrayez

$1$ de

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (0 - λ (- λ) + 1 \cdot - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.5.1

Soustrayez

$λ (- λ)$ de

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (- λ (- λ) + 1 \cdot - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 1 \cdot - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.5.2.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.5.2.2.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 1 \cdot - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.5.2.2.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (- 1 \cdot - 1 λ^{2} + 1 \cdot - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.5.2.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (1 λ^{2} + 1 \cdot - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.5.2.4

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} + 1 \cdot - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.4.5.2.5

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & - λ \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$2$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.5.1.3

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.4

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.7

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.8

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 | \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} - λ & - 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 (1 \cdot - 1 - - - 1) + λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 (- 1 - - - 1) + λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2

Multipliez

$- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 (- 1 - 1 \cdot 1) + λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 (- 1 - 1) + λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.2

Soustrayez

$1$ de

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 \cdot - 2 + λ | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 \cdot - 2 + λ (1 \cdot 0 - - - λ))$

Étape 1.5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.1

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 \cdot - 2 + λ (0 - - - λ))$

Étape 1.5.5.4.2.1.2

Multipliez

$- - λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 \cdot - 2 + λ (0 - (1 λ)))$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 \cdot - 2 + λ (0 - λ))$

Étape 1.5.5.4.2.2

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (0 - 1 \cdot - 2 + λ (- λ))$

Étape 1.5.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.1

Soustrayez

$1 \cdot - 2$ de

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (- 1 \cdot - 2 + λ (- λ))$

Étape 1.5.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (2 + λ (- λ))$

Étape 1.5.5.5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (2 - λ \cdot λ)$

Étape 1.5.5.5.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.3.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (2 - (λ \cdot λ))$

Étape 1.5.5.5.2.3.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (2 - λ^{2})$

Étape 1.5.5.5.3

Remettez dans l’ordre

$2$ et

$- λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.1

Additionnez

$- λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2)$ et

$0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ (- λ^{3}) - λ (2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (2 λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.2.4.1

Multipliez

$λ$ par

$λ^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.2.4.1.1

Déplacez

$λ^{3}$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.1.2

Multipliez

$λ^{3}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.2.4.1.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.1.3

Additionnez

$3$ et

$1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{4} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{4} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.3

Multipliez

$λ^{4}$ par

$1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.4

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.2.4.4.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.4.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.4.5

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2) + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{2} - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 2 + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.6

Réécrivez

$- 1 λ^{2}$ comme

$- λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{2} - λ^{2} - 1 \cdot - 2 + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.7

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{2} - λ^{2} + 2 + 1 (- λ^{2} + 2)$

Étape 1.5.6.2.8

Multipliez

$- λ^{2} + 2$ par

$1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{2} - λ^{2} + 2 - λ^{2} + 2$

Étape 1.5.6.3

Soustrayez

$λ^{2}$ de

$- 2 λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 3 λ^{2} + 2 - λ^{2} + 2$

Étape 1.5.6.4

Soustrayez

$λ^{2}$ de

$- 3 λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{2} + 2 + 2$

Étape 1.5.6.5

Additionnez

$2$ et

$2$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{2} + 4$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{4} - 4 λ^{2} + 4 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez

$u = λ^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 4 u + 4 = 0$

$u = λ^{2}$

Étape 1.7.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.7.2.1

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 2^{2} = 0$

Étape 1.7.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 1.7.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où

$a = u$ et

$b = 2$ .

${(u - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.7.3

Définissez le

$u - 2$ égal à

$0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 1.7.4

Ajoutez

$2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 1.7.5

Remplacez à nouveau la valeur réelle de

$u = λ^{2}$ dans l’équation résolue.

$λ^{2} = 2$

Étape 1.7.6

Résolvez l’équation pour

$λ$ .

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Étape 1.7.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{2}$

Étape 1.7.6.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.7.6.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$λ = \sqrt{2}$

Étape 1.7.6.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$λ = - \sqrt{2}$

Étape 1.7.6.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$λ = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] - \sqrt{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- \sqrt{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.10

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.12

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \\ - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.13

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.14

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} \cdot 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.15

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \sqrt{2} & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 - \sqrt{2} & 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.10

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.11

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.12

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.14

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 + 0 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.15

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.2.3.16

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & - \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = \sqrt{2}$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & - \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{\sqrt{2}} (- \sqrt{2}) & - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot - 1 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & - \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & - \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 - 1 & - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 - 0 & 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 - 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & - \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & - \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 + 0 & - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 + 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ - \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 0 & - \frac{2}{\sqrt{2}} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) & - \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot - 1 & - \frac{2}{\sqrt{2}} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) & - \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - \sqrt{2} + \sqrt{2} & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{3} + \sqrt{2} x_{4} = 0$

$x_{2} + \sqrt{2} x_{3} + x_{4} = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{3} - \sqrt{2} x_{4} \\ - \sqrt{2} x_{3} - x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + \sqrt{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $\sqrt{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.10

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \cdot 1 & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.11

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2} \cdot 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.12

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.13

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.14

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \cdot 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.15

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.16

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 + \sqrt{2} & 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 + \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.14

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 + 0 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.15

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 + \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.16

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{0}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{0}{\sqrt{2}} \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 - 1 & \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 - 0 & 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 - 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & \sqrt{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 + 0 & \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 + 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{\sqrt{2}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 0 & \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot - 1 & \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & \sqrt{2} & - 1 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \sqrt{2} - \sqrt{2} & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sqrt{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sqrt{2}) & - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{3} - \sqrt{2} x_{4} = 0$

$x_{2} - \sqrt{2} x_{3} + x_{4} = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{3} + \sqrt{2} x_{4} \\ \sqrt{2} x_{3} - x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$