Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $16$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $16$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 & 1 & - 16 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Étape 1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ ((16 - λ) (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Développez $(16 - λ) (- 16 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ (16 (- 16 - λ) - λ (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ (16 \cdot - 16 + 16 (- λ) - λ (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ (16 \cdot - 16 + 16 (- λ) - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $16$ par $- 16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + 16 (- λ) - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Additionnez $- 16 λ$ et $16 λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + 0 + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.3

Additionnez $- 256$ et $0$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + λ^{2} - 16) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $16$ de $- 256$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272) + 0 + 0$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.1

Associez les termes opposés dans $- λ (λ^{2} - 272) + 0 + 0$ .

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Étape 1.5.5.1.1

Additionnez $- λ (λ^{2} - 272)$ et $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272) + 0$

Étape 1.5.5.1.2

Additionnez $- λ (λ^{2} - 272)$ et $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272)$

Étape 1.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 272$

Étape 1.5.5.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 272$

Étape 1.5.5.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.5.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 272$

Étape 1.5.5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 272$

Étape 1.5.5.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ \cdot - 272$

Étape 1.5.5.4

Multipliez $- 272$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 272 λ$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 272 λ = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ^{3} + 272 λ$ .

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Étape 1.7.1.1

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 272 λ = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez $- λ$ à partir de $272 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 272 = 0$

Étape 1.7.1.3

Factorisez $- λ$ à partir de $- λ (λ^{2}) - λ (- 272)$ .

$- λ (λ^{2} - 272) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 272 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez $λ$ égal à $0$ .

$λ = 0$

Étape 1.7.4

Définissez $λ^{2} - 272$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez $λ^{2} - 272$ égal à $0$ .

$λ^{2} - 272 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez $λ^{2} - 272 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Ajoutez $272$ aux deux côtés de l’équation.

$λ^{2} = 272$

Étape 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{272}$

Étape 1.7.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{272}$ .

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Étape 1.7.4.2.3.1

Réécrivez $272$ comme $4^{2} \cdot 17$ .

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Étape 1.7.4.2.3.1.1

Factorisez $16$ à partir de $272$ .

$λ = \pm \sqrt{16 (17)}$

Étape 1.7.4.2.3.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 17}$

Étape 1.7.4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$λ = \pm 4 \sqrt{17}$

Étape 1.7.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.7.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$λ = 4 \sqrt{17}$

Étape 1.7.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$λ = - 4 \sqrt{17}$

Étape 1.7.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$λ = 4 \sqrt{17}, - 4 \sqrt{17}$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- λ (λ^{2} - 272) = 0$ vraie.

$λ = 0, 4 \sqrt{17}, - 4 \sqrt{17}$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $0$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $0$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Simplify each element.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.5

Additionnez $16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.6

Additionnez $16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.7

Additionnez $16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.9

Additionnez $- 16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 1 & - 16 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{1}{16} & \frac{- 16}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ \frac{0}{16} & \frac{16}{16} & \frac{16}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{16} \cdot 0 & \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{16} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{17}{16} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{17}{16} z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{17 z}{16} \\ - z \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4 \sqrt{17}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - 4 \sqrt{17} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 4 \sqrt{17}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \sqrt{17} \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 - 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $4 \sqrt{17}$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Additionnez $16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez $16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = 4 \sqrt{17}$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 \sqrt{17}}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 1 - 16 \cdot 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} - 16 \cdot 0 & 0 - 16 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 - 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 - 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{16 - 4 \sqrt{17}}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{16}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{16 - 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} - (- 16 - 4 \sqrt{17}) & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + (- 16 - 4 \sqrt{17}) z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 16 z + 4 \sqrt{17} z \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 4 \sqrt{17}$ .

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Étape 5.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + 4 \sqrt{17} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $4 \sqrt{17}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \sqrt{17} \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6

Multipliez $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7

Multipliez $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8

Multipliez $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Étape 5.2.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 + 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.3

Simplify each element.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $0$ et $4 \sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $16$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.2.3.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Étape 5.3

Find the null space when $λ = - 4 \sqrt{17}$ .

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Étape 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \sqrt{17}}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 1 - 16 \cdot 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} - 16 \cdot 0 & 0 - 16 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 + 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 + 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{16 + 4 \sqrt{17}}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{16}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{16 + 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} - (- 16 + 4 \sqrt{17}) & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + (- 16 + 4 \sqrt{17}) z = 0$

$0 = 0$

Étape 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 16 z - 4 \sqrt{17} z \\ z \end{array}]$

Étape 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]$

Étape 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$