Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 + 0 & 10 + 0 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 + 0 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $- \frac{10}{3}$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $6$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 6 - λ) | \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) ((\frac{4}{3} - λ) (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Développez $(\frac{4}{3} - λ) (10 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} (10 - λ) - λ (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} \cdot 10 + \frac{4}{3} (- λ) - λ (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} \cdot 10 + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot 10$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1.1.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4 \cdot 10}{3} + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ + 1 λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.2

Pour écrire $- 10 λ$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ \cdot \frac{3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.3

Associez $- 10 λ$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} + \frac{- 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} + \frac{- 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.6

Pour écrire $λ^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} \cdot \frac{3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.7

Associez $λ^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + \frac{λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3 + λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 30 λ + λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 30 λ + 3 \cdot λ^{2}}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.3

Soustrayez $30 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 34 λ + 3 λ^{2}}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 34 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ et dont la somme est $b = - 34$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.3.4.2.1

Factorisez $- 34$ à partir de $- 34 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 34 (λ) + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4.2.2

Réécrivez $- 34$ comme $- 4$ plus $- 30$

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} + (- 4 - 30) λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 4 λ - 30 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.3.4.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ^{2} - 4 λ) - 30 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{λ (3 λ - 4) - 10 (3 λ - 4)}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 λ - 4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.4

Multipliez $- 4 (- \frac{10}{3})$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + 4 (\frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.4.2

Associez $4$ et $\frac{10}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + \frac{4 \cdot 10}{3}) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + \frac{40}{3}) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 4) (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.1

Développez $(3 λ - 4) (λ - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ (λ - 10) - 4 (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 10 - 4 (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.2.1.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.3.2.1.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 (λ \cdot λ) + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3.2.1.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 30 λ - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 30 λ - 4 λ + 40 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3.2.2

Soustrayez $4 λ$ de $- 30 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 λ + 40 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $40$ et $40$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.5

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 80 = 240$ et dont la somme est $b = - 34$ .

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Étape 5.2.2.5.1.1

Factorisez $- 34$ à partir de $- 34 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 (λ) + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.5.1.2

Réécrivez $- 34$ comme $- 10$ plus $- 24$

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} + (- 10 - 24) λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 10 λ - 24 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ^{2} - 10 λ) - 24 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{λ (3 λ - 10) - 8 (3 λ - 10)}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 λ - 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (2 (10 - λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (2 \cdot 10 + 2 (- λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 + 2 (- λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10}{3}$ dans le numérateur.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 6 (\frac{- 10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 3 (- 2) \frac{- 10}{3}) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 3 \cdot - 2 \frac{- 10}{3}) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 2 \cdot - 10) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 20) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $20$ et $20$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (2 \cdot 4 - 6 (\frac{4}{3} - λ))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 6 (\frac{4}{3} - λ))$

Étape 5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 6 (\frac{4}{3}) - 6 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 + 3 (- 2) \frac{4}{3} - 6 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 + 3 \cdot - 2 \frac{4}{3} - 6 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 2 \cdot 4 - 6 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 8 - 6 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 8 + 6 λ)$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (0 + 6 λ)$

Étape 5.4.2.3

Additionnez $0$ et $6 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 6 \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$p (λ) = 3 (- 2) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$p (λ) = 3 \cdot - 2 \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = - 2 ((3 λ - 10) (λ - 8)) - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.3

Associez $\frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3}$ et $λ$ .

$p (λ) = - 2 ((3 λ - 10) (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.4.1

Développez $(3 λ - 10) (λ - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.1.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 2 (3 λ (λ - 8) - 10 (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 2 (3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 8 - 10 (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 2 (3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.4.2.1.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.4.2.1.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 (λ \cdot λ) + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.2.1.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 24 λ - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 8$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 24 λ - 10 λ + 80) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.2.2

Soustrayez $10 λ$ de $- 24 λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 34 λ + 80) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2}) - 2 (- 34 λ) - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.4.4.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 2 (- 34 λ) - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.4.2

Multipliez $- 34$ par $- 2$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} + 68 λ - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.4.4.3

Multipliez $- 2$ par $80$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} + 68 λ - 160 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.5

Pour écrire $- 6 λ^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 - 6 λ^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.6

Associez $- 6 λ^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{- 6 λ^{2} \cdot 3}{3} - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{- 6 λ^{2} \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.8.1

Factorisez $λ$ à partir de $- 6 λ^{2} \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8) λ$ .

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Étape 5.5.1.8.1.1

Factorisez $λ$ à partir de $- 6 λ^{2} \cdot 3$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3) - (3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.1.2

Factorisez $λ$ à partir de $- (3 λ - 10) (λ - 8) λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3) + λ (- (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.1.3

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- 6 λ \cdot 3) + λ (- (3 λ - 10) (λ - 8))$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.2

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- (3 λ) - - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- 3 λ - - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.5

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- 3 λ + 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.6

Développez $(- 3 λ + 10) (λ - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.1.8.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ (λ - 8) + 10 (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ \cdot λ - 3 λ \cdot - 8 + 10 (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ \cdot λ - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.1.8.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.8.7.1.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.8.7.1.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 (λ \cdot λ) - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.7.1.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.7.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 24 λ + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.7.1.3

Multipliez $10$ par $- 8$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 24 λ + 10 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.7.2

Additionnez $24 λ$ et $10 λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 34 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.8.8

Additionnez $- 18 λ$ et $34 λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.9

Pour écrire $68 λ$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ \cdot \frac{3}{3} + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.10

Associez $68 λ$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{68 λ \cdot 3}{3} + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{68 λ \cdot 3 + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.12.1

Factorisez $λ$ à partir de $68 λ \cdot 3 + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)$ .

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Étape 5.5.1.12.1.1

Factorisez $λ$ à partir de $68 λ \cdot 3$ .

$p (λ) = \frac{λ (68 \cdot 3) + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.12.1.2

Factorisez $λ$ à partir de $λ (68 \cdot 3) + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)$ .

$p (λ) = \frac{λ (68 \cdot 3 - 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.12.2

Multipliez $68$ par $3$ .

$p (λ) = \frac{λ (204 - 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.12.3

Soustrayez $80$ de $204$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.13

Pour écrire $- 160$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.14

Associez $- 160$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124) - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.2

Simplifiez

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Étape 5.5.1.16.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + λ (16 λ) + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + 16 λ \cdot λ + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.2.3

Déplacez $124$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.16.3.1

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.16.3.1.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{2} λ) + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.3.1.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.1.16.3.1.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{2} λ^{1}) + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{2 + 1} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.3.2

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.16.3.2.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 (λ \cdot λ) + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.3.2.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.4

Multipliez $- 160$ par $3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.5

Réécrivez $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ en forme factorisée.

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Étape 5.5.1.16.5.1

Factorisez $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.5.1.16.5.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 480, \pm 2, \pm 240, \pm 3, \pm 160, \pm 4, \pm 120, \pm 5, \pm 96, \pm 6, \pm 80, \pm 8, \pm 60, \pm 10, \pm 48, \pm 12, \pm 40, \pm 15, \pm 32, \pm 16, \pm 30, \pm 20, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 5.5.1.16.5.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 480, \pm 160, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 240, \pm 80, \pm 3, \pm 53.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 120, \pm 40, \pm 5, \pm 1.\overline{6}, \pm 96, \pm 32, \pm 6, \pm 26.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 60, \pm 20, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 48, \pm 16, \pm 12, \pm 13.\overline{3}, \pm 15, \pm 10.\overline{6}, \pm 5.\overline{3}, \pm 30, \pm 6.\overline{6}, \pm 24$

Étape 5.5.1.16.5.1.3

Remplacez $- 6$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 6$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.5.1.16.5.1.3.1

Remplacez $- 6$ dans le polynôme.

$- 3 {(- 6)}^{3} + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.2

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$- 3 \cdot - 216 + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 216$ .

$648 + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.4

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$648 + 16 \cdot 36 + 124 \cdot - 6 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.5

Multipliez $16$ par $36$ .

$648 + 576 + 124 \cdot - 6 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.6

Additionnez $648$ et $576$ .

$1224 + 124 \cdot - 6 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.7

Multipliez $124$ par $- 6$ .

$1224 - 744 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.8

Soustrayez $744$ de $1224$ .

$480 - 480$

Étape 5.5.1.16.5.1.3.9

Soustrayez $480$ de $480$ .

$0$

Étape 5.5.1.16.5.1.4

Comme $- 6$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ + 6$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480}{λ + 6}$

Étape 5.5.1.16.5.1.5

Divisez $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ par $λ + 6$ .

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Étape 5.5.1.16.5.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$6$

$3 λ^{3}$

$16 λ^{2}$

$124 λ$

$480$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$3 λ^{2}$
	$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			-	$3 λ^{3}$	-	$18 λ^{2}$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 λ^{3} - 18 λ^{2}$

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $34 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					+	$34 λ^{2}$	+	$204 λ$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $34 λ^{2} + 204 λ$

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 80 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							-	$80 λ$	-	$480$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 80 λ - 480$

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							+	$80 λ$	+	$480$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							+	$80 λ$	+	$480$
										$0$

Étape 5.5.1.16.5.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 3 λ^{2} + 34 λ - 80$

Étape 5.5.1.16.5.1.6

Écrivez $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ comme un ensemble de facteurs.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 34 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.5.1.16.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot - 80 = 240$ et dont la somme est $b = 34$ .

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Étape 5.5.1.16.5.2.1.1

Factorisez $34$ à partir de $34 λ$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 34 (λ) - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.5.2.1.2

Réécrivez $34$ comme $10$ plus $24$

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + (10 + 24) λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 10 λ + 24 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.5.1.16.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) ((- 3 λ^{2} + 10 λ) + 24 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (λ (- 3 λ + 10) - 8 (- 3 λ + 10))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.16.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 λ + 10$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) ((- 3 λ + 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.17

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ) + 4 \cdot 40 + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.18

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 4 \cdot 40 + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.19

Multipliez $4$ par $40$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 160 + 10 (6 λ)$

Étape 5.5.1.20

Multipliez $6$ par $10$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.2

Pour écrire $- 8 λ$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ \cdot \frac{3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.3

Associez $- 8 λ$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + \frac{- 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.5.1

Développez $(λ + 6) (- 3 λ + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ + 10) + 6 (- 3 λ + 10)) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ + 10)) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = \frac{(- 3 λ \cdot λ + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.2.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.2.1.2.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.2.1.2.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.2.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 \cdot λ + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 λ - 18 λ + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.2.1.5

Multipliez $6$ par $10$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 λ - 18 λ + 60) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.2.2

Soustrayez $18 λ$ de $10 λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} - 8 λ + 60) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.3

Développez $(- 3 λ^{2} - 8 λ + 60) (λ - 8)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{2} λ - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.4.1

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.4.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ \cdot λ^{2}) - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.1.2

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ .

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Étape 5.5.5.4.1.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{1} λ^{2}) - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{1 + 2} - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.2

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.3

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.4.3.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 (λ \cdot λ) - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.3.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.4

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} + 64 λ + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.4.5

Multipliez $60$ par $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} + 64 λ + 60 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.5

Soustrayez $8 λ^{2}$ de $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 64 λ + 60 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.6

Additionnez $64 λ$ et $60 λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.7

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480 - 24 λ}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.5.8

Soustrayez $24 λ$ de $124 λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + 160 + 60 λ$

Étape 5.5.6

Pour écrire $160$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + 160 \cdot \frac{3}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.7

Associez $160$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + \frac{160 \cdot 3}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480 + 160 \cdot 3}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.9

Multipliez $160$ par $3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480 + 480}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.10

Additionnez $- 480$ et $480$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ + 0}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.11

Additionnez $- 3 λ^{3}$ et $0$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.12

Factorisez $λ$ à partir de $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ$ .

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Étape 5.5.12.1

Factorisez $λ$ à partir de $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + 16 λ^{2} + 100 λ}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.12.2

Factorisez $λ$ à partir de $16 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + 100 λ}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.12.3

Factorisez $λ$ à partir de $100 λ$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + λ \cdot 100}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.12.4

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ) + λ \cdot 100}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.12.5

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ) + λ \cdot 100$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + 60 λ$

Étape 5.5.13

Pour écrire $60 λ$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + 60 λ \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.5.14

Associez $60 λ$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + \frac{60 λ \cdot 3}{3}$

Étape 5.5.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + 60 λ \cdot 3}{3}$

Étape 5.5.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.16.1

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + 60 λ \cdot 3$ .

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Étape 5.5.16.1.1

Factorisez $λ$ à partir de $60 λ \cdot 3$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + λ (60 \cdot 3)}{3}$

Étape 5.5.16.1.2

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + λ (60 \cdot 3)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100 + 60 \cdot 3)}{3}$

Étape 5.5.16.2

Multipliez $60$ par $3$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100 + 180)}{3}$

Étape 5.5.16.3

Additionnez $100$ et $180$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 280)}{3}$

Étape 5.5.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2}) + 16 λ + 280)}{3}$

Étape 5.5.18

Factorisez $- 1$ à partir de $16 λ$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2}) - (- 16 λ) + 280)}{3}$

Étape 5.5.19

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 λ^{2}) - (- 16 λ)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ) + 280)}{3}$

Étape 5.5.20

Réécrivez $280$ comme $- 1 (- 280)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ) - 1 (- 280))}{3}$

Étape 5.5.21

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 λ^{2} - 16 λ) - 1 (- 280)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ - 280))}{3}$

Étape 5.5.22

Réécrivez $- (3 λ^{2} - 16 λ - 280)$ comme $- 1 (3 λ^{2} - 16 λ - 280)$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 1 (3 λ^{2} - 16 λ - 280))}{3}$

Étape 5.5.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (λ) = - \frac{λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280)}{3}$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- \frac{λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280)}{3} = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280) = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $λ$ .

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Étape 7.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ = 0$

$3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$

Étape 7.2.2

Définissez $λ$ égal à $0$ .

$λ = 0$

Étape 7.2.3

Définissez $3 λ^{2} - 16 λ - 280$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez $3 λ^{2} - 16 λ - 280$ égal à $0$ .

$3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$

Étape 7.2.3.2

Résolvez $3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.3.2.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 16$ et $c = - 280$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 280)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.2.3.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 280}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 280$ .

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Étape 7.2.3.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 280}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 280$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 3360}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3.1.3

Additionnez $256$ et $3360$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{3616}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3.1.4

Réécrivez $3616$ comme $4^{2} \cdot 226$ .

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Étape 7.2.3.2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $3616$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{16 (226)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 226}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$λ = \frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$λ = \frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{6}$

Étape 7.2.3.2.3.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{6}$ .

$λ = \frac{8 \pm 2 \sqrt{226}}{3}$

Étape 7.2.3.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Étape 7.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280) = 0$ vraie.

$λ = 0, \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$λ = 0, \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Forme décimale :

$λ = 0, 12.68886425 \dots, - 7.35553091 \dots$