Algèbre linéaire Exemples

${[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}]}^{- 1}$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{1})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $1$ est la matrice carrée $1 \times 1$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{1})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] - λ I_{1})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{1}$ par $[\begin{array}{c} 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Pour écrire $- λ$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x y}{x y}$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} - λ \cdot \frac{x y}{x y} \end{array}]$

Étape 4.3.2

Associez $- λ$ et $\frac{x y}{x y}$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} + \frac{- λ (x y)}{x y} \end{array}]$

Étape 4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x} - λ x y}{x y} \end{array}]$

Étape 5

Le déterminant d’une matrice $1 \times 1$ est l’élément lui-même.

$p (λ) = \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x} - λ x y}{x y}$