Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$2$ est la matrice carrée

$2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez

$I_{2}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3.3

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez

$- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre

$- λ \sqrt{2}$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

Étape 7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs

$a = 1$ ,

$b = - \sqrt{2}$ et

$c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$λ$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Appliquez la règle de produit à

$- \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez

${\sqrt{2}}^{2}$ par

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 7.3.1.4.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 7.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.3.1.5.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5.2

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.6

Soustrayez

$4$ de

$2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.7

Réécrivez

$- 2$ comme

$- 1 (2)$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.8

Réécrivez

$\sqrt{- 1 (2)}$ comme

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.9

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$