Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.3.3

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $- λ \sqrt{2}$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.6

Soustrayez $4$ de $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.7

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.8

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.9

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$