Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}]$ .

Étape 3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} \frac{31}{6} & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{31}{6} - λ & - \frac{73}{18} + 0 & - \frac{16}{9} + 0 \\ - \frac{73}{18} + 0 & \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} + 0 \\ - \frac{16}{9} + 0 & \frac{16}{9} + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $- \frac{73}{18}$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{31}{6} - λ & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} + 0 \\ - \frac{73}{18} + 0 & \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} + 0 \\ - \frac{16}{9} + 0 & \frac{16}{9} + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $- \frac{16}{9}$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{31}{6} - λ & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} + 0 & \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} + 0 \\ - \frac{16}{9} + 0 & \frac{16}{9} + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $- \frac{73}{18}$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{31}{6} - λ & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} + 0 \\ - \frac{16}{9} + 0 & \frac{16}{9} + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $\frac{16}{9}$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{31}{6} - λ & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} + 0 & \frac{16}{9} + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $- \frac{16}{9}$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} \frac{31}{6} - λ & - \frac{73}{18} & - \frac{16}{9} \\ - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $\frac{16}{9}$ et $0$ .

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} \\ \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(\frac{31}{6} - λ) | \begin{array}{c} \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} \\ \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) | \begin{array}{c} \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} \\ \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} \frac{91}{18} - λ & \frac{16}{9} \\ \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) ((\frac{91}{18} - λ) (2 - λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Développez $(\frac{91}{18} - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{18} (2 - λ) - λ (2 - λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{18} \cdot 2 + \frac{91}{18} (- λ) - λ (2 - λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{18} \cdot 2 + \frac{91}{18} (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{2 (9)} \cdot 2 + \frac{91}{18} (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{2 \cdot 9} \cdot 2 + \frac{91}{18} (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} + \frac{91}{18} (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Associez $\frac{91}{18}$ et $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - λ \cdot 2 - λ (- λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - 2 λ - λ (- λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - 2 λ + 1 λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - 2 λ + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.2

Pour écrire $- 2 λ$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} - 2 λ \cdot \frac{18}{18} + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.3

Associez $- 2 λ$ et $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} - \frac{91 λ}{18} + \frac{- 2 λ \cdot 18}{18} + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} + \frac{- 91 λ - 2 λ \cdot 18}{18} + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.5

Pour écrire $\frac{91}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 91 λ - 2 λ \cdot 18}{18} + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.2.1.2.6.1

Multipliez $\frac{91}{9}$ par $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{- 91 λ - 2 λ \cdot 18}{18} + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.6.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91 \cdot 2}{18} + \frac{- 91 λ - 2 λ \cdot 18}{18} + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91 \cdot 2 - 91 λ - 2 λ \cdot 18}{18} + λ^{2} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.8

Pour écrire $λ^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91 \cdot 2 - 91 λ - 2 λ \cdot 18}{18} + λ^{2} \cdot \frac{18}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.9

Associez $λ^{2}$ et $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91 \cdot 2 - 91 λ - 2 λ \cdot 18}{18} + \frac{λ^{2} \cdot 18}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{91 \cdot 2 - 91 λ - 2 λ \cdot 18 + λ^{2} \cdot 18}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Multipliez $91$ par $2$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{182 - 91 λ - 2 λ \cdot 18 + λ^{2} \cdot 18}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.2

Multipliez $18$ par $- 2$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{182 - 91 λ - 36 λ + λ^{2} \cdot 18}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.3

Déplacez $18$ à gauche de $λ^{2}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{182 - 91 λ - 36 λ + 18 \cdot λ^{2}}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.4

Soustrayez $36 λ$ de $- 91 λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{182 - 127 λ + 18 λ^{2}}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.2.1.3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{18 λ^{2} - 127 λ + 182}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.5.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 18 \cdot 182 = 3276$ et dont la somme est $b = - 127$ .

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Étape 5.2.2.1.3.5.2.1

Factorisez $- 127$ à partir de $- 127 λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{18 λ^{2} - 127 (λ) + 182}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.5.2.2

Réécrivez $- 127$ comme $- 36$ plus $- 91$

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{18 λ^{2} + (- 36 - 91) λ + 182}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{18 λ^{2} - 36 λ - 91 λ + 182}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.5.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1.3.5.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(18 λ^{2} - 36 λ) - 91 λ + 182}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{18 λ (λ - 2) - 91 (λ - 2)}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3.5.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $λ - 2$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.4

Multipliez $- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{16}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18} - \frac{16 \cdot 16}{9 \cdot 9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.4.2

Multipliez $16$ par $16$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18} - \frac{256}{9 \cdot 9}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.4.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18} - \frac{256}{81}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Pour écrire $\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18} \cdot \frac{9}{9} - \frac{256}{81}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.3

Pour écrire $- \frac{256}{81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18} \cdot \frac{9}{9} - \frac{256}{81} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $162$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.2.4.1

Multipliez $\frac{(λ - 2) (18 λ - 91)}{18}$ par $\frac{9}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91) \cdot 9}{18 \cdot 9} - \frac{256}{81} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.4.2

Multipliez $18$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91) \cdot 9}{162} - \frac{256}{81} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.4.3

Multipliez $\frac{256}{81}$ par $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91) \cdot 9}{162} - \frac{256 \cdot 2}{81 \cdot 2}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.4.4

Multipliez $81$ par $2$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) (\frac{(λ - 2) (18 λ - 91) \cdot 9}{162} - \frac{256 \cdot 2}{162}) + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(λ - 2) (18 λ - 91) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.6.1

Développez $(λ - 2) (18 λ - 91)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(λ (18 λ - 91) - 2 (18 λ - 91)) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(λ (18 λ) + λ \cdot - 91 - 2 (18 λ - 91)) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(λ (18 λ) + λ \cdot - 91 - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 91) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(18 λ \cdot λ + λ \cdot - 91 - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 91) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.2.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.6.2.1.2.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(18 (λ \cdot λ) + λ \cdot - 91 - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 91) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.2.1.2.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(18 λ^{2} + λ \cdot - 91 - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 91) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.2.1.3

Déplacez $- 91$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(18 λ^{2} - 91 \cdot λ - 2 (18 λ) - 2 \cdot - 91) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.2.1.4

Multipliez $18$ par $- 2$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(18 λ^{2} - 91 λ - 36 λ - 2 \cdot - 91) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 91$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(18 λ^{2} - 91 λ - 36 λ + 182) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.2.2

Soustrayez $36 λ$ de $- 91 λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{(18 λ^{2} - 127 λ + 182) \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{18 λ^{2} \cdot 9 - 127 λ \cdot 9 + 182 \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.4

Simplifiez

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Étape 5.2.2.6.4.1

Multipliez $9$ par $18$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 127 λ \cdot 9 + 182 \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.4.2

Multipliez $9$ par $- 127$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 182 \cdot 9 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.4.3

Multipliez $182$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1638 - 256 \cdot 2}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.5

Multipliez $- 256$ par $2$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1638 - 512}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.2.2.6.6

Soustrayez $512$ de $1638$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} | - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{16}{9} \\ - \frac{16}{9} & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{18} (2 - λ) - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{18} \cdot 2 - \frac{73}{18} (- λ) - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{73}{18}$ dans le numérateur.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{- 73}{18} \cdot 2 - \frac{73}{18} (- λ) - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{- 73}{2 (9)} \cdot 2 - \frac{73}{18} (- λ) - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{- 73}{2 \cdot 9} \cdot 2 - \frac{73}{18} (- λ) - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{- 73}{9} - \frac{73}{18} (- λ) - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $- \frac{73}{18} (- λ)$ .

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Étape 5.3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{- 73}{9} + 1 (\frac{73}{18}) λ - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3.2

Multipliez $\frac{73}{18}$ par $1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{- 73}{9} + \frac{73}{18} λ - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3.3

Associez $\frac{73}{18}$ et $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{- 73}{9} + \frac{73 λ}{18} - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{9} + \frac{73 λ}{18} - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.5

Multipliez $- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$ .

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Étape 5.3.2.1.5.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{16}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{9} + \frac{73 λ}{18} - - \frac{16 \cdot 16}{9 \cdot 9}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.5.2

Multipliez $16$ par $16$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{9} + \frac{73 λ}{18} - - \frac{256}{9 \cdot 9}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.5.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{9} + \frac{73 λ}{18} - - \frac{256}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.6

Multipliez $- - \frac{256}{81}$ .

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Étape 5.3.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{9} + \frac{73 λ}{18} + 1 (\frac{256}{81})) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.6.2

Multipliez $\frac{256}{81}$ par $1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (- \frac{73}{9} + \frac{73 λ}{18} + \frac{256}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Pour écrire $- \frac{73}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{73}{9} \cdot \frac{9}{9} + \frac{256}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $81$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Multipliez $\frac{73}{9}$ par $\frac{9}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{73 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{256}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.3.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{73 \cdot 9}{81} + \frac{256}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} + \frac{- 73 \cdot 9 + 256}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1

Multipliez $- 73$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} + \frac{- 657 + 256}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.5.2

Additionnez $- 657$ et $256$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} + \frac{- 401}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} | \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - \frac{73}{18} & \frac{91}{18} - λ \\ - \frac{16}{9} & \frac{16}{9} \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{73}{18} \cdot \frac{16}{9} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{73}{18}$ dans le numérateur.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 73}{18} \cdot \frac{16}{9} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 73}{2 (9)} \cdot \frac{16}{9} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 73}{2 \cdot 9} \cdot \frac{2 \cdot 8}{9} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 73}{9} \cdot \frac{8}{9} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $\frac{- 73}{9}$ par $\frac{8}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 73 \cdot 8}{9 \cdot 9} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- 73$ par $8$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 584}{9 \cdot 9} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 584}{81} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (- \frac{16}{9} (\frac{91}{18} - λ)))$

Étape 5.4.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (- \frac{16}{9} \cdot \frac{91}{18} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16}{9}$ dans le numérateur.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 16}{9} \cdot \frac{91}{18} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{2 (- 8)}{9} \cdot \frac{91}{18} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.7.3

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{2 \cdot - 8}{9} \cdot \frac{91}{2 \cdot 9} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.7.4

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.1.7.5

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 8}{9} \cdot \frac{91}{9} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.8

Multipliez $\frac{- 8}{9}$ par $\frac{91}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 8 \cdot 91}{9 \cdot 9} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.9

Multipliez $- 8$ par $91$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 728}{9 \cdot 9} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.10

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 728}{81} - \frac{16}{9} (- λ)))$

Étape 5.4.2.1.11

Multipliez $- \frac{16}{9} (- λ)$ .

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Étape 5.4.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 728}{81} + 1 (\frac{16}{9}) λ))$

Étape 5.4.2.1.11.2

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 728}{81} + \frac{16}{9} λ))$

Étape 5.4.2.1.11.3

Associez $\frac{16}{9}$ et $λ$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (\frac{- 728}{81} + \frac{16 λ}{9}))$

Étape 5.4.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - (- \frac{728}{81} + \frac{16 λ}{9}))$

Étape 5.4.2.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} - - \frac{728}{81} - \frac{16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.1.14

Multipliez $- - \frac{728}{81}$ .

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Étape 5.4.2.1.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} + 1 (\frac{728}{81}) - \frac{16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.1.14.2

Multipliez $\frac{728}{81}$ par $1$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{584}{81} + \frac{728}{81} - \frac{16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{- 584 + 728}{81} + \frac{- 16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.3

Additionnez $- 584$ et $728$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{144}{81} + \frac{- 16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.4.1

Annulez le facteur commun à $144$ et $81$ .

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Étape 5.4.2.4.1.1

Factorisez $9$ à partir de $144$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{9 (16)}{81} + \frac{- 16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.4.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{9 \cdot 16}{9 \cdot 9} + \frac{- 16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{9 \cdot 16}{9 \cdot 9} + \frac{- 16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{16}{9} + \frac{- 16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (\frac{16}{9} - \frac{16 λ}{9})$

Étape 5.4.2.5

Remettez dans l’ordre $\frac{16}{9}$ et $- \frac{16 λ}{9}$ .

$p (λ) = (\frac{31}{6} - λ) \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{31}{6} \cdot \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} - λ \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $\frac{31}{6} \cdot \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162}$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $\frac{31}{6}$ par $\frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162}$ .

$p (λ) = \frac{31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126)}{6 \cdot 162} - λ \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $6$ par $162$ .

$p (λ) = \frac{31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126)}{972} - λ \frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.3

Associez $\frac{162 λ^{2} - 1143 λ + 1126}{162}$ et $λ$ .

$p (λ) = \frac{31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126)}{972} - \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ}{162} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.4

Pour écrire $- \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ}{162}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$p (λ) = \frac{31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126)}{972} - \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ}{162} \cdot \frac{6}{6} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $972$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.1.5.1

Multipliez $\frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ}{162}$ par $\frac{6}{6}$ .

$p (λ) = \frac{31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126)}{972} - \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ \cdot 6}{162 \cdot 6} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.5.2

Multipliez $162$ par $6$ .

$p (λ) = \frac{31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126)}{972} - \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ \cdot 6}{972} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) - (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ \cdot 6}{972} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.7.1

Factorisez $162 λ^{2} - 1143 λ + 1126$ à partir de $31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) - (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ \cdot 6$ .

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Étape 5.5.1.7.1.1

Factorisez $162 λ^{2} - 1143 λ + 1126$ à partir de $31 (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126)$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) \cdot 31 - (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ \cdot 6}{972} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.7.1.2

Factorisez $162 λ^{2} - 1143 λ + 1126$ à partir de $- (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) λ \cdot 6$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) \cdot 31 + (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (- 1 λ \cdot 6)}{972} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.7.1.3

Factorisez $162 λ^{2} - 1143 λ + 1126$ à partir de $(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) \cdot 31 + (162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (- 1 λ \cdot 6)$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 1 λ \cdot 6)}{972} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.7.2

Réécrivez $- 1 λ$ comme $- λ$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - λ \cdot 6)}{972} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.7.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{73}{18} (\frac{73 λ}{18} - \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{73}{18} \cdot \frac{73 λ}{18} + \frac{73}{18} (- \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.9

Multipliez $\frac{73}{18} \cdot \frac{73 λ}{18}$ .

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Étape 5.5.1.9.1

Multipliez $\frac{73}{18}$ par $\frac{73 λ}{18}$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{73 (73 λ)}{18 \cdot 18} + \frac{73}{18} (- \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.9.2

Multipliez $73$ par $73$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{18 \cdot 18} + \frac{73}{18} (- \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.9.3

Multipliez $18$ par $18$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} + \frac{73}{18} (- \frac{401}{81}) - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.10

Multipliez $\frac{73}{18} (- \frac{401}{81})$ .

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Étape 5.5.1.10.1

Multipliez $\frac{73}{18}$ par $\frac{401}{81}$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{73 \cdot 401}{18 \cdot 81} - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.10.2

Multipliez $73$ par $401$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{18 \cdot 81} - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.10.3

Multipliez $18$ par $81$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9} + \frac{16}{9})$

Étape 5.5.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} - \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9}) - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 5.5.1.12

Multipliez $- \frac{16}{9} (- \frac{16 λ}{9})$ .

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Étape 5.5.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + 1 (\frac{16}{9}) \frac{16 λ}{9} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 5.5.1.12.2

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $1$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + \frac{16}{9} \cdot \frac{16 λ}{9} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 5.5.1.12.3

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{16 λ}{9}$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + \frac{16 (16 λ)}{9 \cdot 9} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 5.5.1.12.4

Multipliez $16$ par $16$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{9 \cdot 9} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 5.5.1.12.5

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 5.5.1.13

Multipliez $- \frac{16}{9} \cdot \frac{16}{9}$ .

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Étape 5.5.1.13.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{16}{9}$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{16 \cdot 16}{9 \cdot 9}$

Étape 5.5.1.13.2

Multipliez $16$ par $16$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{9 \cdot 9}$

Étape 5.5.1.13.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.2

Pour écrire $\frac{5329 λ}{324}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ}{324} \cdot \frac{3}{3} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $972$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.1

Multipliez $\frac{5329 λ}{324}$ par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ \cdot 3}{324 \cdot 3} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.3.2

Multipliez $324$ par $3$ .

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)}{972} + \frac{5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.5.1.1

Développez $(162 λ^{2} - 1143 λ + 1126) (31 - 6 λ)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = \frac{162 λ^{2} \cdot 31 + 162 λ^{2} (- 6 λ) - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1.2.1

Multipliez $31$ par $162$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} + 162 λ^{2} (- 6 λ) - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} + 162 \cdot - 6 λ^{2} λ - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.3

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.1.2.3.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} + 162 \cdot - 6 (λ \cdot λ^{2}) - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.3.2

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ .

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Étape 5.5.5.1.2.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} + 162 \cdot - 6 (λ^{1} λ^{2}) - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} + 162 \cdot - 6 λ^{1 + 2} - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} + 162 \cdot - 6 λ^{3} - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.4

Multipliez $162$ par $- 6$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 1143 λ \cdot 31 - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.5

Multipliez $31$ par $- 1143$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ - 1143 λ (- 6 λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ - 1143 \cdot - 6 λ \cdot λ + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.7

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.1.2.7.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ - 1143 \cdot - 6 (λ \cdot λ) + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.7.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ - 1143 \cdot - 6 λ^{2} + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.8

Multipliez $- 1143$ par $- 6$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ + 6858 λ^{2} + 1126 \cdot 31 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.9

Multipliez $1126$ par $31$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ + 6858 λ^{2} + 34906 + 1126 (- 6 λ) + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.2.10

Multipliez $- 6$ par $1126$ .

$p (λ) = \frac{5022 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ + 6858 λ^{2} + 34906 - 6756 λ + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.3

Additionnez $5022 λ^{2}$ et $6858 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{11880 λ^{2} - 972 λ^{3} - 35433 λ + 34906 - 6756 λ + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.4

Soustrayez $6756 λ$ de $- 35433 λ$ .

$p (λ) = \frac{11880 λ^{2} - 972 λ^{3} - 42189 λ + 34906 + 5329 λ \cdot 3}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.5

Multipliez $3$ par $5329$ .

$p (λ) = \frac{11880 λ^{2} - 972 λ^{3} - 42189 λ + 34906 + 15987 λ}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.6

Additionnez $- 42189 λ$ et $15987 λ$ .

$p (λ) = \frac{11880 λ^{2} - 972 λ^{3} - 26202 λ + 34906}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$p (λ) = \frac{- 972 λ^{3} + 11880 λ^{2} - 26202 λ + 34906}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.8

Factorisez $2$ à partir de $- 972 λ^{3} + 11880 λ^{2} - 26202 λ + 34906$ .

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Étape 5.5.5.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 972 λ^{3}$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3}) + 11880 λ^{2} - 26202 λ + 34906}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $11880 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3}) + 2 (5940 λ^{2}) - 26202 λ + 34906}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $- 26202 λ$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3}) + 2 (5940 λ^{2}) + 2 (- 13101 λ) + 34906}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.8.4

Factorisez $2$ à partir de $34906$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3}) + 2 (5940 λ^{2}) + 2 (- 13101 λ) + 2 (17453)}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.8.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 486 λ^{3}) + 2 (5940 λ^{2})$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2}) + 2 (- 13101 λ) + 2 (17453)}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.8.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2}) + 2 (- 13101 λ)$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ) + 2 (17453)}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.1.8.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ) + 2 (17453)$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453)}{972} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $972$ .

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453)}{2 \cdot 486} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$p (λ) = \frac{2 (- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453)}{2 \cdot 486} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$p (λ) = \frac{- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453}{486} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.6

Pour écrire $\frac{- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453}{486}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453}{486} \cdot \frac{3}{3} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1458$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.7.1

Multipliez $\frac{- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453}{486}$ par $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453) \cdot 3}{486 \cdot 3} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.7.2

Multipliez $486$ par $3$ .

$p (λ) = \frac{(- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453) \cdot 3}{1458} - \frac{29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{(- 486 λ^{3} + 5940 λ^{2} - 13101 λ + 17453) \cdot 3 - 29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = \frac{- 486 λ^{3} \cdot 3 + 5940 λ^{2} \cdot 3 - 13101 λ \cdot 3 + 17453 \cdot 3 - 29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.9.2

Simplifiez

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Étape 5.5.9.2.1

Multipliez $3$ par $- 486$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 5940 λ^{2} \cdot 3 - 13101 λ \cdot 3 + 17453 \cdot 3 - 29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.9.2.2

Multipliez $3$ par $5940$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 13101 λ \cdot 3 + 17453 \cdot 3 - 29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.9.2.3

Multipliez $3$ par $- 13101$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 17453 \cdot 3 - 29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.9.2.4

Multipliez $17453$ par $3$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 52359 - 29273}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.9.3

Soustrayez $29273$ de $52359$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 23086}{1458} + \frac{256 λ}{81} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.10

Pour écrire $\frac{256 λ}{81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 23086}{1458} + \frac{256 λ}{81} \cdot \frac{18}{18} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1458$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.11.1

Multipliez $\frac{256 λ}{81}$ par $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 23086}{1458} + \frac{256 λ \cdot 18}{81 \cdot 18} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.11.2

Multipliez $81$ par $18$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 23086}{1458} + \frac{256 λ \cdot 18}{1458} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 23086 + 256 λ \cdot 18}{1458} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.13.1

Multipliez $18$ par $256$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 39303 λ + 23086 + 4608 λ}{1458} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.13.2

Additionnez $- 39303 λ$ et $4608 λ$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 23086}{1458} - \frac{256}{81}$

Étape 5.5.14

Pour écrire $- \frac{256}{81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 23086}{1458} - \frac{256}{81} \cdot \frac{18}{18}$

Étape 5.5.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1458$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.15.1

Multipliez $\frac{256}{81}$ par $\frac{18}{18}$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 23086}{1458} - \frac{256 \cdot 18}{81 \cdot 18}$

Étape 5.5.15.2

Multipliez $81$ par $18$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 23086}{1458} - \frac{256 \cdot 18}{1458}$

Étape 5.5.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 23086 - 256 \cdot 18}{1458}$

Étape 5.5.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.17.1

Multipliez $- 256$ par $18$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 23086 - 4608}{1458}$

Étape 5.5.17.2

Soustrayez $4608$ de $23086$ .

$p (λ) = \frac{- 1458 λ^{3} + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 18478}{1458}$

Étape 5.5.18

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1458 λ^{3}$ .

$p (λ) = \frac{- (1458 λ^{3}) + 17820 λ^{2} - 34695 λ + 18478}{1458}$

Étape 5.5.19

Factorisez $- 1$ à partir de $17820 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{- (1458 λ^{3}) - (- 17820 λ^{2}) - 34695 λ + 18478}{1458}$

Étape 5.5.20

Factorisez $- 1$ à partir de $- (1458 λ^{3}) - (- 17820 λ^{2})$ .

$p (λ) = \frac{- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2}) - 34695 λ + 18478}{1458}$

Étape 5.5.21

Factorisez $- 1$ à partir de $- 34695 λ$ .

$p (λ) = \frac{- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2}) - (34695 λ) + 18478}{1458}$

Étape 5.5.22

Factorisez $- 1$ à partir de $- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2}) - (34695 λ)$ .

$p (λ) = \frac{- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ) + 18478}{1458}$

Étape 5.5.23

Réécrivez $18478$ comme $- 1 (- 18478)$ .

$p (λ) = \frac{- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ) - 1 (- 18478)}{1458}$

Étape 5.5.24

Factorisez $- 1$ à partir de $- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ) - 1 (- 18478)$ .

$p (λ) = \frac{- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ - 18478)}{1458}$

Étape 5.5.25

Réécrivez $- (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ - 18478)$ comme $- 1 (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ - 18478)$ .

$p (λ) = \frac{- 1 (1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ - 18478)}{1458}$

Étape 5.5.26

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (λ) = - \frac{1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ - 18478}{1458}$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- \frac{1458 λ^{3} - 17820 λ^{2} + 34695 λ - 18478}{1458} = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$λ \approx 1.05340571, 1.20780975, 9.96100674$