Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 (1 - λ) + 0 \cdot 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Multipliez $1 - λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ + 0 \cdot 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ + 0) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $1 - λ$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (1 - λ) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.3.2.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.2.1.1

Développez $(1 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.2.2

Soustrayez $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.2

Associez les termes opposés dans $1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.2.2

Additionnez $- 2 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2}) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 2 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.2

Multipliez $- 1 (- λ)$ .

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Étape 5.3.5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.2.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.4

Développez $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.5.2.5.1.1

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} + 1 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 2 λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.5.2.5.1.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.5.2.5.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.2.5.2

Additionnez $λ^{2}$ et $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ - 1 + 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.3

Soustrayez $2 λ$ de $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ - 1 + 3 λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.4

Déplacez $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ + 3 λ^{2} - λ^{3} - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.5

Déplacez $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - λ^{3} - λ - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3.5.6

Remettez dans l’ordre $3 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 (1 - λ) - 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.3.2.1

Multipliez $1 - λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 - λ - 1 \cdot 0) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.2

Soustrayez $0$ de $1 - λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (1 - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.3.2.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 (1 - 1)) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.5.1

Soustrayez $(1 - λ) (- λ + 1)$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- (1 - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 - - λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.3

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.4.5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 + 1 λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.3.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 ((- 1 + λ) (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.4

Développez $(- 1 + λ) (- λ + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ + 1) + λ (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + λ (- λ + 1) + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.2.5.1.1

Multipliez $- 1 (- λ)$ .

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Étape 5.4.5.2.5.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (1 λ - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5.1.1.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 \cdot 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 + λ (- λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5.1.4

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.5.2.5.1.4.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - (λ \cdot λ) + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5.1.4.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ^{2} + λ \cdot 1 + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5.1.5

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (λ - 1 - λ^{2} + λ + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.5.2

Additionnez $λ$ et $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2} + 1 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3

Additionnez $2 λ - 1 - λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - 1 - λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.4

Déplacez $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (2 λ - λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.5

Remettez dans l’ordre $2 λ$ et $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (1 \cdot 0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 \cdot 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.4

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.5.3.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.4.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (- 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.3

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |)$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1))$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 - 1 \cdot 1))$

Étape 5.5.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (1 - 1))$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Soustrayez $(1 - λ) (λ - 1)$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.3

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.5.5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 + 1 λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.3.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 ((- 1 + λ) (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.4

Développez $(- 1 + λ) (λ - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 (λ - 1) + λ (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ (λ - 1) + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.2.5.1.1

Réécrivez $- 1 λ$ comme $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.5.1.3

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot - 1 + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.5.1.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - 1 \cdot λ + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.5.1.5

Réécrivez $- 1 λ$ comme $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - λ + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.5.2

Soustrayez $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot 0)$

Étape 5.5.5.2.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 0)$

Étape 5.5.5.3

Additionnez $- 2 λ + 1 + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2})$

Étape 5.5.5.4

Déplacez $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (- 2 λ + λ^{2} + 1)$

Étape 5.5.5.5

Remettez dans l’ordre $- 2 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Additionnez $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1) + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.2.1

Développez $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.2.2.1

Multipliez $- λ^{3}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.2

Multipliez $3 λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 1 (- λ) + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.3

Multipliez $- λ$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ + 1 \cdot - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.2.2.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.2.2.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{2 + 1} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.11

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.15

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} - λ \cdot - 1 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.16

Multipliez $- λ \cdot - 1$ .

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Étape 5.6.2.2.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 1 λ + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.2.16.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + λ + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.3

Associez les termes opposés dans $- λ^{3} + 3 λ^{2} - λ - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + λ$ .

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Étape 5.6.2.3.1

Additionnez $- λ$ et $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 0 + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.3.2

Additionnez $- λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + λ^{2} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.4

Soustrayez $3 λ^{3}$ de $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} + λ^{2} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.5

Additionnez $3 λ^{2}$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 1 (- λ^{2} + 2 λ - 1) - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.6

Multipliez $- λ^{2} + 2 λ - 1$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - 1 (λ^{2} - 2 λ + 1)$

Étape 5.6.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 1$

Étape 5.6.2.8

Simplifiez

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Étape 5.6.2.8.1

Réécrivez $- 1 λ^{2}$ comme $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 1$

Étape 5.6.2.8.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 1$

Étape 5.6.2.8.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 λ^{2} - 1 + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1$

Étape 5.6.3

Soustrayez $λ^{2}$ de $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 2 λ - 1 - λ^{2} + 2 λ - 1$

Étape 5.6.4

Soustrayez $λ^{2}$ de $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} - 1 + λ^{4} + 2 λ - 1 + 2 λ - 1$

Étape 5.6.5

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 2 λ - 2 + 2 λ - 1$

Étape 5.6.6

Additionnez $2 λ$ et $2 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 4 λ - 2 - 1$

Étape 5.6.7

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + λ^{4} + 4 λ - 3$

Étape 5.6.8

Déplacez $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3$

Étape 5.6.9

Remettez dans l’ordre $- 4 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 2 λ^{2} + 4 λ - 3 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Regroupez les termes.

$- 4 λ^{3} + 4 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 4 λ$ à partir de $- 4 λ^{3} + 4 λ$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $- 4 λ$ à partir de $- 4 λ^{3}$ .

$- 4 λ \cdot λ^{2} + 4 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $- 4 λ$ à partir de $4 λ$ .

$- 4 λ \cdot λ^{2} - 4 λ \cdot - 1 + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $- 4 λ$ à partir de $- 4 λ (λ^{2}) - 4 λ (- 1)$ .

$- 4 λ (λ^{2} - 1) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 4 λ (λ^{2} - 1^{2}) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez.

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Étape 7.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = λ$ et $b = 1$ .

$- 4 λ ((λ + 1) (λ - 1)) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + λ^{4} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.5

Réécrivez $λ^{4}$ comme ${(λ^{2})}^{2}$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + {(λ^{2})}^{2} + 2 λ^{2} - 3 = 0$

Étape 7.1.6

Laissez $u = λ^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $λ^{2}$ par $u$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Étape 7.1.7

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 7.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (u - 1) (u + 3) = 0$

Étape 7.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $λ^{2}$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ^{2} - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

Étape 7.1.9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ^{2} - 1^{2}) (λ^{2} + 3) = 0$

Étape 7.1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = λ$ et $b = 1$ .

$- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

Étape 7.1.11

Factorisez $(λ + 1) (λ - 1)$ à partir de $- 4 λ (λ + 1) (λ - 1) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3)$ .

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Étape 7.1.11.1

Factorisez $(λ + 1) (λ - 1)$ à partir de $- 4 λ (λ + 1) (λ - 1)$ .

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3) = 0$

Étape 7.1.11.2

Factorisez $(λ + 1) (λ - 1)$ à partir de $(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ) + (λ + 1) (λ - 1) (λ^{2} + 3)$ .

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 λ + λ^{2} + 3) = 0$

Étape 7.1.12

Laissez $u = λ$ . Remplacez toutes les occurrences de $λ$ par $u$ .

$(λ + 1) (λ - 1) (- 4 u + u^{2} + 3) = 0$

Étape 7.1.13

Factorisez $- 4 u + u^{2} + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 7.1.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(λ + 1) (λ - 1) ((u - 3) (u - 1)) = 0$

Étape 7.1.14

Factorisez.

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Étape 7.1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $λ$ .

$(λ + 1) (λ - 1) ((λ - 3) (λ - 1)) = 0$

Étape 7.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ + 1) (λ - 1) (λ - 3) (λ - 1) = 0$

Étape 7.1.15

Associez les exposants.

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Étape 7.1.15.1

Élevez $λ - 1$ à la puissance $1$ .

$(λ + 1) ((λ - 1) (λ - 1)) (λ - 3) = 0$

Étape 7.1.15.2

Élevez $λ - 1$ à la puissance $1$ .

$(λ + 1) ((λ - 1) (λ - 1)) (λ - 3) = 0$

Étape 7.1.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(λ + 1) {(λ - 1)}^{1 + 1} (λ - 3) = 0$

Étape 7.1.15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(λ + 1) {(λ - 1)}^{2} (λ - 3) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ + 1 = 0$

${(λ - 1)}^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ + 1$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $λ + 1$ égal à $0$ .

$λ + 1 = 0$

Étape 7.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 1$

Étape 7.4

Définissez ${(λ - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez ${(λ - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez ${(λ - 1)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Définissez le $λ - 1$ égal à $0$ .

$λ - 1 = 0$

Étape 7.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 1$

Étape 7.5

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ + 1) {(λ - 1)}^{2} (λ - 3) = 0$ vraie.

$λ = - 1, 1, 3$