Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Développez $(1 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Additionnez $1 - 2 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.3

Déplacez $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.4

Remettez dans l’ordre $- 2 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Associez les termes opposés dans $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0 + 0$ .

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Étape 5.5.5.1.1

Additionnez $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Additionnez $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.2

Développez $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.3.1

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.2

Multipliez $- 2 λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.4

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.4.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.4.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.5.3.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.6

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.6.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.6.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.4

Additionnez $λ^{2}$ et $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.5

Soustrayez $λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.6

Déplacez $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - λ^{3} + 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.7

Déplacez $- 3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - λ^{3} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.8

Remettez dans l’ordre $3 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$ .

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Étape 5.6.1.1

Additionnez $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$

Étape 5.6.2

Développez $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1

Multipliez $- λ^{3}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.2

Multipliez $3 λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.3

Multipliez $- 3 λ$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.11

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 1$

Étape 5.6.3.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - λ$

Étape 5.6.4

Soustrayez $3 λ^{3}$ de $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} + 3 λ^{2} - λ$

Étape 5.6.5

Additionnez $3 λ^{2}$ et $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - λ$

Étape 5.6.6

Soustrayez $λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1 + λ^{4}$

Étape 5.6.7

Déplacez $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + λ^{4} + 1$

Étape 5.6.8

Déplacez $- 4 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} + λ^{4} - 4 λ + 1$

Étape 5.6.9

Déplacez $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$

Étape 5.6.10

Remettez dans l’ordre $- 4 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez $λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$ en utilisant le théorème du binôme.

${(1 - λ)}^{4} = 0$

Étape 7.2

Définissez le $1 - λ$ égal à $0$ .

$1 - λ = 0$

Étape 7.3

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 1$

Étape 7.3.2

Divisez chaque terme dans $- λ = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- λ = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3.2.2.2

Divisez $λ$ par $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$λ = 1$