Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} a & - 2 b & 3 d = 11 \\ 4 a & b & - d = 4 \\ 2 a & - b & 3 d = 10 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{a}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{a}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{a}{a} & \frac{- 2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 4 a & b & - d = 4 \\ 2 a & - b & 3 d = 10 \end{array}]$

Étape 1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 4 a & b & - d = 4 \\ 2 a & - b & 3 d = 10 \end{array}]$

Étape 2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 a R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 a R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 4 a - 4 a \cdot 1 & b - 4 a (- \frac{2 b}{a}) & - d = 4 - 4 a \frac{3 d = 11}{a} \\ 2 a & - b & 3 d = 10 \end{array}]$

Étape 2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 9 b & - d = 4 - 43 d = 11 \\ 2 a & - b & 3 d = 10 \end{array}]$

Étape 3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 9 b & - d = 4 - 43 d = 11 \\ 2 a - 2 a \cdot 1 & - b - 2 a (- \frac{2 b}{a}) & 3 d = 10 - 2 a \frac{3 d = 11}{a} \end{array}]$

Étape 3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 9 b & - d = 4 - 43 d = 11 \\ 0 & 3 b & 3 d = 10 - 23 d = 11 \end{array}]$

Étape 4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{9 b}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{9 b}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ \frac{0}{9 b} & \frac{9 b}{9 b} & \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \\ 0 & 3 b & 3 d = 10 - 23 d = 11 \end{array}]$

Étape 4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 1 & \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \\ 0 & 3 b & 3 d = 10 - 23 d = 11 \end{array}]$

Étape 5

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 3 b R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 3 b R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 1 & \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \\ 0 - 3 b \cdot 0 & 3 b - 3 b \cdot 1 & 3 d = 10 - 23 d = 11 - 3 b \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \end{array}]$

Étape 5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 1 & \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \\ 0 & 0 & \frac{33 d = 10 - - d = 4 - 23 d = 11}{3} \end{array}]$

Étape 6

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{3}{33 d = 10 - - d = 4 - 23 d = 11}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 6.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{3}{33 d = 10 - - d = 4 - 23 d = 11}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 1 & \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \\ \frac{3}{33 d = 10 - - d = 4 - 23 d = 11} \cdot 0 & \frac{3}{33 d = 10 - - d = 4 - 23 d = 11} \cdot 0 & \frac{3}{33 d = 10 - - d = 4 - 23 d = 11} \cdot \frac{33 d = 10 - - d = 4 - 23 d = 11}{3} \end{array}]$

Étape 6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 1 & \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 7

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 - \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \cdot 0 & 1 - \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \cdot 0 & \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} - \frac{- d = 4 - 43 d = 11}{9 b} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d = 11}{a} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{3 d = 11}{a} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{3 d = 11}{a} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 d = 11}{a} \cdot 0 & - \frac{2 b}{a} - \frac{3 d = 11}{a} \cdot 0 & \frac{3 d = 11}{a} - \frac{3 d = 11}{a} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 9

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{2 b}{a} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 9.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{2 b}{a} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2 b}{a} \cdot 0 & - \frac{2 b}{a} + \frac{2 b}{a} \cdot 1 & 0 + \frac{2 b}{a} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$