Algèbre linéaire Exemples

Trouver les vecteurs propres (ou espace propre) [[2,0,0,1],[1,2,0,-1],[1,5,3,-1],[0,0,0,2]]
Étape 1
Déterminez les valeurs propres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par .
Étape 1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.5.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.9
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.9.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.9.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.10
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.10.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.10.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.11
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.12
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.12.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.12.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.13
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.13.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.13.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.14
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.14.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.14.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.15
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.15.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.15.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.16
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 1.4.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Additionnez et .
Étape 1.4.3.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3.3
Additionnez et .
Étape 1.4.3.4
Additionnez et .
Étape 1.4.3.5
Additionnez et .
Étape 1.4.3.6
Additionnez et .
Étape 1.4.3.7
Additionnez et .
Étape 1.4.3.8
Additionnez et .
Étape 1.4.3.9
Additionnez et .
Étape 1.4.3.10
Additionnez et .
Étape 1.4.3.11
Additionnez et .
Étape 1.4.3.12
Additionnez et .
Étape 1.5
Find the determinant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.11
Add the terms together.
Étape 1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4
Multipliez par .
Étape 1.5.5
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 1.5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 1.5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.5.1.9
Add the terms together.
Étape 1.5.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.3
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.5.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.5.4.2.2
Additionnez et .
Étape 1.5.5.4.2.3
Déplacez .
Étape 1.5.5.4.2.4
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.5.5.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.1
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.1.1
Additionnez et .
Étape 1.5.5.5.1.2
Additionnez et .
Étape 1.5.5.5.2
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 1.5.5.5.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.3.1
Multipliez par .
Étape 1.5.5.5.3.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.5.3.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.3.3.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.5.3.3.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.3.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.5.5.3.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.5.5.3.3.3
Additionnez et .
Étape 1.5.5.5.3.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.5.5.3.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.5.5.3.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.5.3.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.5.3.6
Multipliez par .
Étape 1.5.5.5.3.7
Multipliez par .
Étape 1.5.5.5.4
Additionnez et .
Étape 1.5.5.5.5
Soustrayez de .
Étape 1.5.5.5.6
Déplacez .
Étape 1.5.5.5.7
Déplacez .
Étape 1.5.5.5.8
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.5.6
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.1
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.1.1
Additionnez et .
Étape 1.5.6.1.2
Additionnez et .
Étape 1.5.6.1.3
Additionnez et .
Étape 1.5.6.2
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 1.5.6.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.1
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.2
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.3
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.4
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.5
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.6.3.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.6.1
Déplacez .
Étape 1.5.6.3.6.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.6.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.6.3.6.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.6.3.6.3
Additionnez et .
Étape 1.5.6.3.7
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.8
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.9
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.6.3.10
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.10.1
Déplacez .
Étape 1.5.6.3.10.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.10.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.6.3.10.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.6.3.10.3
Additionnez et .
Étape 1.5.6.3.11
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.12
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.6.3.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.6.3.13.1
Déplacez .
Étape 1.5.6.3.13.2
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.14
Multipliez par .
Étape 1.5.6.3.15
Multipliez par .
Étape 1.5.6.4
Soustrayez de .
Étape 1.5.6.5
Additionnez et .
Étape 1.5.6.6
Soustrayez de .
Étape 1.5.6.7
Déplacez .
Étape 1.5.6.8
Déplacez .
Étape 1.5.6.9
Déplacez .
Étape 1.5.6.10
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 1.7
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 1.7.1.1.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 1.7.1.1.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 1.7.1.1.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.1.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.1.3.4
Multipliez par .
Étape 1.7.1.1.3.5
Soustrayez de .
Étape 1.7.1.1.3.6
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.1.3.7
Multipliez par .
Étape 1.7.1.1.3.8
Additionnez et .
Étape 1.7.1.1.3.9
Multipliez par .
Étape 1.7.1.1.3.10
Soustrayez de .
Étape 1.7.1.1.3.11
Additionnez et .
Étape 1.7.1.1.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 1.7.1.1.5
Divisez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.1.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
--+-+
Étape 1.7.1.1.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
--+-+
Étape 1.7.1.1.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
--+-+
+-
Étape 1.7.1.1.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
--+-+
-+
Étape 1.7.1.1.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
--+-+
-+
-
Étape 1.7.1.1.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
--+-+
-+
-+
Étape 1.7.1.1.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-
--+-+
-+
-+
Étape 1.7.1.1.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-
--+-+
-+
-+
-+
Étape 1.7.1.1.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-
--+-+
-+
-+
+-
Étape 1.7.1.1.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-
--+-+
-+
-+
+-
+
Étape 1.7.1.1.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-
--+-+
-+
-+
+-
+-
Étape 1.7.1.1.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
Étape 1.7.1.1.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
+-
Étape 1.7.1.1.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
Étape 1.7.1.1.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-
Étape 1.7.1.1.5.16
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-+
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
Étape 1.7.1.1.5.17
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
Étape 1.7.1.1.5.18
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
-+
Étape 1.7.1.1.5.19
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
+-
Étape 1.7.1.1.5.20
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-+-
--+-+
-+
-+
+-
+-
-+
-+
+-
Étape 1.7.1.1.5.21
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 1.7.1.1.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 1.7.1.2
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 1.7.1.2.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 1.7.1.2.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 1.7.1.2.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.2.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.2.3.4
Multipliez par .
Étape 1.7.1.2.3.5
Soustrayez de .
Étape 1.7.1.2.3.6
Multipliez par .
Étape 1.7.1.2.3.7
Additionnez et .
Étape 1.7.1.2.3.8
Soustrayez de .
Étape 1.7.1.2.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 1.7.1.2.5
Divisez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.2.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
--+-
Étape 1.7.1.2.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
--+-
Étape 1.7.1.2.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
--+-
+-
Étape 1.7.1.2.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
--+-
-+
Étape 1.7.1.2.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
--+-
-+
-
Étape 1.7.1.2.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
--+-
-+
-+
Étape 1.7.1.2.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-
--+-
-+
-+
Étape 1.7.1.2.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-
--+-
-+
-+
-+
Étape 1.7.1.2.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-
--+-
-+
-+
+-
Étape 1.7.1.2.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-
--+-
-+
-+
+-
+
Étape 1.7.1.2.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-
--+-
-+
-+
+-
+-
Étape 1.7.1.2.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
Étape 1.7.1.2.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
+-
Étape 1.7.1.2.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Étape 1.7.1.2.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Étape 1.7.1.2.5.16
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 1.7.1.2.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 1.7.1.3
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.3.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.3.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.7.1.3.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.7.1.3.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.7.1.4
Associez les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.4.1
Associez les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.4.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.4.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.4.1.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.7.1.4.1.4
Additionnez et .
Étape 1.7.1.4.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.7.1.5
Associez les facteurs similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1.5.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.7.1.5.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.7.1.5.3
Additionnez et .
Étape 1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.7.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.3.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.3.2.1
Définissez le égal à .
Étape 1.7.3.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Étape 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.10
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.11
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.12
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.13
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.14
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.15
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.16
Multipliez par .
Étape 3.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 3.2.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.3.1
Soustrayez de .
Étape 3.2.3.2
Additionnez et .
Étape 3.2.3.3
Additionnez et .
Étape 3.2.3.4
Additionnez et .
Étape 3.2.3.5
Additionnez et .
Étape 3.2.3.6
Soustrayez de .
Étape 3.2.3.7
Additionnez et .
Étape 3.2.3.8
Additionnez et .
Étape 3.2.3.9
Additionnez et .
Étape 3.2.3.10
Additionnez et .
Étape 3.2.3.11
Soustrayez de .
Étape 3.2.3.12
Additionnez et .
Étape 3.2.3.13
Additionnez et .
Étape 3.2.3.14
Additionnez et .
Étape 3.2.3.15
Additionnez et .
Étape 3.2.3.16
Soustrayez de .
Étape 3.3
Find the null space when .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Étape 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.3
Swap with to put a nonzero entry at .
Étape 3.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 3.3.6
Write as a solution set.
Étape 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 4.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.10
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.11
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.12
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.13
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.14
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.15
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.16
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.2.3
Simplify each element.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.3.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.2
Additionnez et .
Étape 4.2.3.3
Additionnez et .
Étape 4.2.3.4
Additionnez et .
Étape 4.2.3.5
Additionnez et .
Étape 4.2.3.6
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.7
Additionnez et .
Étape 4.2.3.8
Additionnez et .
Étape 4.2.3.9
Additionnez et .
Étape 4.2.3.10
Additionnez et .
Étape 4.2.3.11
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.12
Additionnez et .
Étape 4.2.3.13
Additionnez et .
Étape 4.2.3.14
Additionnez et .
Étape 4.2.3.15
Additionnez et .
Étape 4.2.3.16
Soustrayez de .
Étape 4.3
Find the null space when .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.6
Swap with to put a nonzero entry at .
Étape 4.3.2.7
Multiply each element of by to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.7.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.7.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.8
Perform the row operation to make the entry at a .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.2.8.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.8.2
Simplifiez .
Étape 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 4.3.6
Write as a solution set.
Étape 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.