Algèbre linéaire Exemples

3 x - 2 y = 8

$3 x - 2 y = 8$ ,

6 y = 15 x + 12

$6 y = 15 x + 12$

Étape 1

Soustrayez

15 x

$15 x$ des deux côtés de l’équation.

3 x - 2 y = 8, 6 y - 15 x = 12

$3 x - 2 y = 8, 6 y - 15 x = 12$

Étape 2

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

[\begin{matrix} 3 & - 2 & 8 - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 8 \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

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Étape 3.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

Étape 3.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 3.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - 15 + 15 \cdot 1 & 6 + 15 (- \frac{2}{3}) & 12 + 15 (\frac{8}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 + 15 \cdot 1 & 6 + 15 (- \frac{2}{3}) & 12 + 15 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & - 4 & 52 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & - 4 & 52 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & - 4 & 52 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & - 4 & 52 \end{array}]$

Étape 3.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

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Étape 3.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 52 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 52 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & 1 & - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & 1 & - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

Étape 3.4

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 3.4.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 13 0 & 1 & - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 13 \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 6 \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = - 6$

$y = - 13$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- 6, - 13)$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ - 13 \end{array}]$