Algèbre linéaire Exemples

$8 i (7 - 5 i)$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$8 i \cdot 7 + 8 i (- 5 i)$

Étape 2

Multipliez $7$ par $8$ .

$56 i + 8 i (- 5 i)$

Étape 3

Multipliez $8 i (- 5 i)$ .

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Étape 3.1

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$56 i - 40 i i$

Étape 3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i)$

Étape 3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$56 i - 40 i^{1 + 1}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$56 i - 40 i^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$56 i - 40 \cdot - 1$

Étape 4.2

Multipliez $- 40$ par $- 1$ .

$56 i + 40$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $56 i$ et $40$ .

$40 + 56 i$

Étape 6

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 7

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles de $a = 40$ et $b = 56$ .

$| z | = \sqrt{56^{2} + 40^{2}}$

Étape 9

Déterminez $| z |$ .

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Étape 9.1

Élevez $56$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 40^{2}}$

Étape 9.2

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 1600}$

Étape 9.3

Additionnez $3136$ et $1600$ .

$| z | = \sqrt{4736}$

Étape 9.4

Réécrivez $4736$ comme $8^{2} \cdot 74$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $64$ à partir de $4736$ .

$| z | = \sqrt{64 (74)}$

Étape 9.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}$

Étape 9.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 8 \sqrt{74}$

Étape 10

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{56}{40})$

Étape 11

Comme la tangente inverse de $\frac{56}{40}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0.95054684$ .

$θ = 0.95054684$

Étape 12

Remplacez les valeurs de $θ = 0.95054684$ et $| z | = 8 \sqrt{74}$ .

$8 \sqrt{74} (\cos (0.95054684) + i \sin (0.95054684))$