Algèbre linéaire Exemples

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{2}{3}$ et $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 4.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Étape 4.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Étape 4.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

Étape 4.10

Additionnez $1$ et $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Étape 4.11

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Étape 4.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.12.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.12.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = - 0.4636476$ et $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$