Algèbre linéaire Exemples

$(8 - 7 i) (6 + 7 i)$

Étape 1

Développez $(8 - 7 i) (6 + 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (6 + 7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $8$ par $6$ .

$48 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Étape 2.1.2

Multipliez $7$ par $8$ .

$48 + 56 i - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Étape 2.1.3

Multipliez $6$ par $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 7 i (7 i)$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 7 i (7 i)$ .

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i i$

Étape 2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i)$

Étape 2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i^{1})$

Étape 2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{1 + 1}$

Étape 2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{2}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 \cdot - 1$

Étape 2.1.6

Multipliez $- 49$ par $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i + 49$

Étape 2.2

Additionnez $48$ et $49$ .

$97 + 56 i - 42 i$

Étape 2.3

Soustrayez $42 i$ de $56 i$ .

$97 + 14 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = 97$ et $b = 14$ .

$| z | = \sqrt{14^{2} + 97^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 97^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $97$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 9409}$

Étape 6.3

Additionnez $196$ et $9409$ .

$| z | = \sqrt{9605}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{14}{97})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{14}{97}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0.14334005$ .

$θ = 0.14334005$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = 0.14334005$ et $| z | = \sqrt{9605}$ .

$\sqrt{9605} (\cos (0.14334005) + i \sin (0.14334005))$