Algèbre linéaire Exemples

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(4 - 3 i)}^{2}$ comme $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Étape 2

Développez $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 3 i (- 3 i)$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Étape 3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Étape 3.1.6

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Étape 3.2

Soustrayez $9$ de $16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Étape 3.3

Soustrayez $12 i$ de $- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Étape 5

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Étape 6

Multipliez $- 5 i (- 24 i)$ .

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Étape 6.1

Multipliez $- 24$ par $- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Étape 6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Étape 6.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Étape 7.2

Multipliez $120$ par $- 1$ .

$- 35 i - 120$

Étape 8

Remettez dans l’ordre $- 35 i$ et $- 120$ .

$- 120 - 35 i$

Étape 9

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 10

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 11

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 120$ et $b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Étape 12

Déterminez $| z |$ .

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Étape 12.1

Élevez $- 35$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Étape 12.2

Élevez $- 120$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Étape 12.3

Additionnez $1225$ et $14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Étape 12.4

Réécrivez $15625$ comme $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Étape 12.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 125$

Étape 13

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Étape 14

Comme la tangente inverse de $\frac{- 35}{- 120}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Étape 15

Remplacez les valeurs de $θ = 3.42538676$ et $| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$