Algèbre linéaire Exemples

- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez

{(4 - 3 i)}^{2}

${(4 - 3 i)}^{2}$ comme

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Étape 2

Développez

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez

4

$4$ par

4

$4$ .

- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Étape 3.1.2

Multipliez

- 3

$- 3$ par

4

$4$ .

- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Étape 3.1.3

Multipliez

4

$4$ par

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Étape 3.1.4

Multipliez

- 3 i (- 3 i)

$- 3 i (- 3 i)$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez

- 3

$- 3$ par

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Étape 3.1.4.2

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Étape 3.1.4.3

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Étape 3.1.4.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Étape 3.1.5

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Étape 3.1.6

Multipliez

9

$9$ par

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Étape 3.2

Soustrayez

9

$9$ de

16

$16$ .

- 5 i (7 - 12 i - 12 i)

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Étape 3.3

Soustrayez

12 i

$12 i$ de

- 12 i

$- 12 i$ .

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Étape 5

Multipliez

7

$7$ par

- 5

$- 5$ .

- 35 i - 5 i (- 24 i)

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Étape 6

Multipliez

- 5 i (- 24 i)

$- 5 i (- 24 i)$ .

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Étape 6.1

Multipliez

- 24

$- 24$ par

- 5

$- 5$ .

- 35 i + 120 i i

$- 35 i + 120 i i$

Étape 6.2

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i)

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Étape 6.3

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

- 35 i + 120 i^{1 + 1}

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Étape 6.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

- 35 i + 120 \cdot - 1

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Étape 7.2

Multipliez

120

$120$ par

- 1

$- 1$ .

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

Étape 8

Remettez dans l’ordre

- 35 i

$- 35 i$ et

- 120

$- 120$ .

- 120 - 35 i

$- 120 - 35 i$

Étape 9

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 10

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 11

Remplacez les valeurs réelles de

a = - 120

$a = - 120$ et

b = - 35

$b = - 35$ .

| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Étape 12

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 12.1

Élevez

- 35

$- 35$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Étape 12.2

Élevez

$- 120$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Étape 12.3

Additionnez

$1225$ et

$14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Étape 12.4

Réécrivez

$15625$ comme

$125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Étape 12.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 125$

Étape 13

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Étape 14

Comme la tangente inverse de

$\frac{- 35}{- 120}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est

$3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Étape 15

Remplacez les valeurs de

$θ = 3.42538676$ et

$| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$