Algèbre linéaire Exemples

- 4 \sqrt{3} + i

$- 4 \sqrt{3} + i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ et

b = 1

$b = 1$ .

| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de produit à

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.1.3

Élevez

- 4

$- 4$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

3

$3$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ comme

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez

16

$16$ par

3

$3$ .

| z | = \sqrt{1 + 48}

$| z | = \sqrt{1 + 48}$

Étape 4.3.2

Additionnez

1

$1$ et

48

$48$ .

| z | = \sqrt{49}

$| z | = \sqrt{49}$

Étape 4.3.3

Réécrivez

49

$49$ comme

7^{2}

$7^{2}$ .

| z | = \sqrt{7^{2}}

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

| z | = \sqrt{7^{2}}

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

Étape 4.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

| z | = 7

$| z | = 7$

| z | = 7

$| z | = 7$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})

$θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de

\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}

$\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est

2.99824508

$2.99824508$ .

θ = 2.99824508

$θ = 2.99824508$

Étape 7

Remplacez les valeurs de

θ = 2.99824508

$θ = 2.99824508$ et

| z | = 7

$| z | = 7$ .

7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))

$7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))$