Algèbre linéaire Exemples

3 - 5 i

$3 - 5 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

a = 3

$a = 3$ et

b = - 5

$b = - 5$ .

| z | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 3^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 3^{2}}$

Étape 4

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez

- 5

$- 5$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{25 + 3^{2}}

$| z | = \sqrt{25 + 3^{2}}$

Étape 4.2

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{25 + 9}

$| z | = \sqrt{25 + 9}$

Étape 4.3

Additionnez

25

$25$ et

9

$9$ .

| z | = \sqrt{34}

$| z | = \sqrt{34}$

| z | = \sqrt{34}

$| z | = \sqrt{34}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

θ = arctan (\frac{- 5}{3})

$θ = \arctan (\frac{- 5}{3})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de

\frac{- 5}{3}

$\frac{- 5}{3}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est

- 1.03037682

$- 1.03037682$ .

θ = - 1.03037682

$θ = - 1.03037682$

Étape 7

Remplacez les valeurs de

θ = - 1.03037682

$θ = - 1.03037682$ et

| z | = \sqrt{34}

$| z | = \sqrt{34}$ .

\sqrt{34} (cos (- 1.03037682) + i sin (- 1.03037682))

$\sqrt{34} (\cos (- 1.03037682) + i \sin (- 1.03037682))$