Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 725 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ u + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 4 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ v + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 528 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ w = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 35 - 18 102 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ 5 \end{array}] u + [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \end{array}] v + [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 8 \end{array}] w = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de

$ℝ^{0}$ à

$ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

M :

$ℝ^{0} \to ℝ^{3}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour

$M$ .

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

$M$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Étape 6

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 7

Comme la propriété d’addition de transformation n’est pas respectée, ce n’est pas une transformation linéaire.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$