Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 4 & 6 1 & - 3 & 5 3 & - 7 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ x = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1472 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 4 & 6 \\ 1 & - 3 & 5 \\ 3 & - 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de

$ℝ^{3}$ à

$ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

M :

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour

$M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Étape 6

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 7

Comme la propriété d’addition de transformation n’est pas respectée, ce n’est pas une transformation linéaire.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$